Enunciado

19-24. Encontre (d^2 y)/(d x^2) .

19. y = x . cos x

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar (d^2 y)/(d x^2) ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y^' e depois derivar y ' para encontrarmos y^(' ') , ou melhor, (d^2 y)/(d x^2) . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

(d)/(d x)(s e n x)=cos x (d)/(d x)(cos x)=-senx (d)/(d x)(t g x)=sec^2 x

(d)/(d x)(sec x)=sec x.tgx (d)/(d x)(c o t g x)=-cossec^2x

(d)/(d x)(c o s s e c x)=-cossecx.cotgx

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = x . cos x

Como temos um produto de duas funções, então devemos utilizar a regra do produto, que é a seguinte:

y = u . v

y^' = u^' . v + u . v^'

No nosso caso, temos:

u = x

u^' = 1

v = cos x

v^' = - s e n x

Substituindo na regrinha, teremos:

y^' = 1 . cos x - x . s e n x

:. y^' = cos x - x . s e n x

Encontramos y^' , agora vamos encontrar y^(' ') !

Passo 3

Note que na nossa derivada aparece (x . s e n x) , que é outro produto entre funções, não é mesmo? Sendo assim, teremos que aplicar novamente a regra do produto. Agora temos que:

u = x

u^' = 1

v = s e n x

v^' = cos x

Substituindo na regrinha, teremos:

y^(' ') = - s e n x - (1 . s e n x + x . cos x)

Fazendo a distributiva e simplificando, teremos:

y^(' ') = - s e n x - s e n x - x . cos x

:. (d^2 y)/(d x^2) = - 2 s e n x - x . cos x

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = - 2 s e n x - x . cos x

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Use a Fórmula (1), o formato alternativo para a definição de derivada dado na Fórmula (13) da Seção 2.2, ou seja, f ' x = lim w → x ⁡ f w - f x w - x E a identidade da diferença de senos s e nα - s e
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = s e nx
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Suponha que g x = f x sec ⁡ x , com f 0 = 8 e f ' 0 = - 2 . Então g ' 0 = lim h → 0 ⁡ f h sec ⁡ h - f 0 h = lim h → 0 ⁡ 8 ( s
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = cos ⁡ x 2 - s e nx