19-24. Encontre d^2y / dx^2 .

19. y = x \* cos(x)

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar d 2 y d x 2 ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y ' e depois derivar y ' para encontrarmos y ' ' , ou melhor, d 2 y d x 2 . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

d d x s e n   x = cos ⁡ x   d d x cos ⁡ x = - s e n   x   d d x t g   x = sec 2 ⁡ x

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x . t g   x   d d x c o t g   x = - c o s s e c 2   x

d d x c o s s e c   x = - c o s s e c   x . c o t g   x

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = x . cos ⁡ x

Como temos um produto de duas funções, então devemos utilizar a regra do produto, que é a seguinte:

y = u . v

y ' = u ' . v + u . v '

No nosso caso, temos:

u = x

u ' = 1

v = cos ⁡ x

v ' = - s e n   x

Substituindo na regrinha, teremos:

y ' = 1 . cos ⁡ x - x . s e n   x

∴ y ' = cos ⁡ x - x . s e n   x

Encontramos y ' , agora vamos encontrar y ' ' !

Passo 3

Note que na nossa derivada aparece x . s e n   x , que é outro produto entre funções, não é mesmo? Sendo assim, teremos que aplicar novamente a regra do produto. Agora temos que:

u = x

u ' = 1

v = s e n   x

v ' = cos ⁡ x

Substituindo na regrinha, teremos:

y ' ' = - s e n   x - 1 . s e n   x + x . cos ⁡ x

Fazendo a distributiva e simplificando, teremos:

y ' ' = - s e n   x - s e n   x - x . cos ⁡ x

∴ d 2 y d x 2 = - 2 s e n   x - x . cos ⁡ x

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

d 2 y d x 2 = - 2 s e n   x - x . cos ⁡ x

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