Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f(x) = cos(x) / (2 - sen x)

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição:

f x = cos ⁡ x 2 - s e n   x

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

2 - s e n   x ≠ 0

s e n   x ≠ 2

Só que seno é uma função que está sempre entre 1 e - 1 , por isso não há nenhum x que satisfaça essa inequação. Podemos então dizer que nossa f ( x ) está definida para todos os valores de x .

Passo 3

Se olharmos para a derivada, usando a regra do quociente:

f ' x = cos ⁡ x ' 2 - s e n   x - cos ⁡ x ( 2 - s e n   x ) ' 2 - s e n   x 2 = - 2   s e n   x + s e n 2 x + cos 2 ⁡ x 2 - s e n   x 2

Temos o mesmo problema   2 - s e n   x ≠ 0 , por estarmos trabalhando com uma fração. Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para todos os valores de x .

Resposta

f ( x ) é diferenciável para todo x

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