Enunciado

23- Comprimento de um segmento de reta Use a fórmula de comprimento de arco (Equação 3) para determinar o comprimento do segmento de reta y = 3 - 2 x , 0 ≤ x ≤ 2 . Verifique sua resposta determinando o comprimento do segmento como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Passo 1

Equação 3:

Passo 2

Fazendo a integral temos:

L = ∫ 0 2 1 + d ( 3 - 2 x ) d x 2   d x

L = ∫ 0 2 1 + - 2 2   d x

L = ∫ 0 2 5 d x

L = 5 x 0 2 = 2 5

Passo 3

Desenhando o gráfico vemos:

Vemos que em x = 0 :

y = 3 - 2 × 0 = 3

Tendo nosso ponto ( 0,3 )

E para x = 2 :

y = 3 - 2 × 2 = - 1

Temos nosso ponto ( 2 , - 1 )

Então os catetos do nosso triângulo valem 2 e 4, logo o valor da hipotenusa conseguimos encontrar por Pitágoras:

L = 2 2 + 4 2 = 20 = 4 × 5 = 2 5

Logo é isso mesmo o comprimento da reta no intervalo de 0 ≤ x ≤ 2

Resposta

2 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O vão central da ponte Golden Gate (na Califórnia, Estados Unidos) mede 4.200 pés e está suspenso por cabos que sobem 500 pés acima da rodovia em torres de ambos os lados. Aproximadamente, qual é o co
Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva. x = e t s e nt + cos ⁡ t ,y = e t ( cos ⁡ t - s e nt ) , ( 1 ≤ t ≤ 4 )
Mostre que o comprimento de arco total da elipse x = a cos ⁡ t ,y = bs e nt ,0 ≤ t ≤ 2 π , com ab0 , é dado por: 4 a ∫ 0 π / 2 1 - k 2 cos 2 ⁡ t d t Onde k = a 2 - b 2 a .
Um jogador de basquete converte uma cesta. Suponha que a trajetória da bola a partir do momento em que é lançada até entrar no arco seja descrita por y = 2,15 + 2,09 x - 0,41 x 2 , 0 ≤ x ≤ 4,6 é a dis
Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva. x = 1 3 t 3 ,y = 1 2 t 2 0 ≤ t ≤ 1