Enunciado

25- Considere uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de posição x = cos 3t.

a) Verifique que aceleração é proporcional à posição.

b) Calcule a aceleração no instante em que a partícula se encontra na posição x = 1 2 .

Passo 1

a)Lembremos que, para encontrarmos a aceleração precisaremos derivar a função até a segunda ordem.

Para tanto, comecemos encontrando a derivada de primeira ordem.

d x d t = d ( cos ⁡ 3 t ) d t

d x d t =   - 3 ( s e n   3 t )

Agora, vamos derivar mais uma vez a função obtida a partir da primeira derivada. Ou seja,

d 2 x d t 2 = d 2 ( - 3 s e n 3 t ) d t 2

d 2 x d t 2 =   - 9   ( cos ⁡ 3 t )

A questão ainda não acabou !!! Nós apenas encontramos a aceleração. Precisamos verificar que ela é proporcional à posição. Vamos dividir uma equação pela outra e ver o que acontece.

- 9 ( cos ⁡ 3 t ) ( c o s   3 t ) = - 9

Deu uma constante!!!! Isso quer dizer que, para qualquer valor de t, a aceleração da partícula sempre será -9 x a sua posição. Portanto, são proporcionais.

Passo 2

b)Vamos começar encontrando o instante em que a partícula se encontra na posição x = 1 2 .

Substituindo esse valor na função dada no enunciado, teremos:

1 2 = c o s 3 t

Agora, precisamos lembrar qual é o ângulo cujo cosseno é 1 2 .

cos 60 ° = 1 2 . Vivaaaaaa!!! Encontramos. Mas, de acordo com a função, sabemos que 3t = 60. Ou seja, t = 20.

Substituindo esse valor na função de aceleração encontrada no item anterior, teremos:

a = - 9 cos (3.20)

a = -9 . 1 2

a = - 9 2

Resposta

  1. d 2 x d t 2 = -9(cos 3t) = -9x
  2. - 9 2
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