2.Considere a série de potências, centrada em x 0 , ∑ n = 0 ∞ a n x - x 0 n . Suponha que tal série convirja para x = x 1 ,   x 1 ≠ x 0 . Mostre que a série converge absolutamente para todo x ∈ ] x 0 - r , x 0 + r [ , onde r = x 1 - x 0 .

Passo 1

Fazendo u = x - x 0 , temos a série de potências ∑ k = 0 ∞ a k u k ,   centrada em 0, e que será convergente para u = x 1 - x 0 . Pelo teorema da seção, tal série será absolutamente convergente para - r < u < r , onde r = x i - x 0 ; segue que a série ∑ k = 0 ∞ a k x - x 0 k será, então, absolutamente convergente para - r < x - x 0 < r , e ,   portanto, absolutamente convergente no intervalo x 0 - r , x 0 + r .

Resposta

Explicação em texto.

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