Enunciado

31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em casa caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como:

f x - L = " a l g u m a   c o i s a " . x - a

E, então, controle o tamanho de " a l g u m a   c o i s a " por meio de restrições no tamanho de δ .

36. lim x → 2 ⁡ x 3 = 8

Passo 1

Então pessoal, da definição rigorosa de limites temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Para o limite que nos foi dado, temos os seguintes dados:

f x = x 3

L = 8

a = 2

Ok, dados anotados!

Passo 2

Como o enunciado não define um δ , vamos escolher um valor conveniente para nós, ok? Considerando que δ < 1 , teremos:

0 < x - 2 < δ

Fazendo com que x < 3 , teremos também:

x 2 + 2 x + 4 < 9 + 6 + 4 = 19

Então, pela definição:

x 3 - 8 = x - 2 . x 2 + 2 x + 4 < 19 δ

Comparando os resultados chegamos a conclusão de que:

δ = min ⁡ ϵ 19 , 1

Dessa forma, fica provado que, de fato, dado qualquer número positivo, conseguimos encontrar um número positivo δ que satisfaz as condições dadas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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