Enunciado

3-32. Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n^4 + 1))/(n^3 + n ²)

Passo 1

A ideia de se analisar esse tipo de série é tomar uma série parecida com a que temos no qual sabemos seu resultado e comparar com a série que nos foi dada. Ficou confuso? Prometo que tudo vai ficar mais claro, beleza? Uma série parecida com a nossa é:

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n^4))/(n^3 + n ²) = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n + 1)

Comparando, teremos:

(sqrt(n^4 + 1))/(n^3 + n ²) > (1)/(n + 1)

Mas po, ainda não está muito claro sobre a convergência ou divergência da nossa série, não é mesmo? Então galera, a série que tomamos como referência é uma série divergente pois podemos associa-la com a seguinte série:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n)

E essa é uma série que conhecemos e que sabemos que é divergente. Sendo assim, a nossa série comparativa também é divergente. Dessa forma, podemos concluir que a série original que nos foi dada é divergente.

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n^4 + 1))/(n^3 + n ²) é d i v e r g e n t e

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