Enunciado

33-36. Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

∑ n = 1 ∞ 5 - n c o s 2 n

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos da série dada, tudo bem? Temos:

∑ n = 1 10 c o s 2 n 5 n = c o s 2 1 5 1 + c o s 2 2 5 2 + c o s 2 3 5 3 + c o s 2 4 5 4 + … + c o s 2 10 5 10

Fazendo essa continha, isto é, somando esses decimais, obteremos aproximadamente:

∑ n = 1 10 c o s 2 n 5 n ≈ 0,07393

Passo 2

Tudo bem, já temos o resultado da soma dos dez primeiros termos da série. Agora o que devemos fazer é utilizar o teste de comparação para ver se a série converge ou diverge. Uma série comparativa interessante para nós seria:

∑ n = 1 ∞ 1 5 n

Que é uma série geométrica convergente, uma vez que r = 1 5 < 1 . A comparação nos dá:

c o s 2 n 5 n < 1 5 n

Agora calculando o erro, teremos:

R 10 ≤ T 10 ≤ ∫ 10 ∞ 1 5 x d x

Vale ressaltar que essa integral sai do teste da integral, caso não esteja lembrado, beleza? Resolvendo a integral, teremos:

∫ 10 ∞ 1 5 x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 10 t 5 - x d x

lim t → ∞ ⁡ - 5 - x ln ⁡ 5 t 10 = lim t → ∞ ⁡ - 5 - t ln ⁡ 5 + 5 - 10 ln ⁡ 5 = 1 5 10 ln ⁡ 5

1 5 10 ln ⁡ 5 < 6,4.10 - 8

Sendo assim, R 10 < 6,4.10 - 8 .

Resposta

∑ n = 1 10 c o s 2 n 5 n ≈ ∑ n = 1 ∞ c o s 2 n 5 n ≈ 0,07393

R 10 < 6,4.10 - 8

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