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35) No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre as espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por W ( t ) , e caribu, dada por C ( t ) , no norte do Canadá. A interação foi modelada pelas equações:

d C d t = a C - b C W d W d t = - c W + d C W

(a) Que valores de d C d t e d W d t correspondem às populações estáveis?

(b) Como representar matematicamente a afirmação: “O caribu está extinto? ”.

(c) Suponha que a = 0,05 , b = 0,001 , c = 0,05 e d = 0,0001 . Encontre todos os pares ( C , W ) que levam a populações estáveis. Segundo esse modelo, é possível para as espécies viverem em harmonia, ou uma ou as duas espécies acabarão por se extinguir?

Passo 1

Item a:

A população permanece estável quando não cresce nem decresce, ou seja, não varia, permanece constante. Se a população é uma função constante, sua derivada em função do tempo é nula. Logo, a população estável nas espécies corresponde à d C d t = 0 e d C W d t = 0

Passo 2

Item b:

Representar isso matematicamente é afirmar que a população é nula, ou seja, C = 0 .

Passo 3

Item c:

Se as duas populações são estáveis, ou seja, d C d t = 0 e d C W d t = 0 , então:

a C - b C W = 0 - c W + d C W = 0

a C = b C W c W = d C W

Temos um sistema homogêneo. Como todo sistema linear desse tipo aceita a solução trivial, então já temos um par ( C , W ) que é ( 0,0 ) .

Agora, para C , W ≠ ( 0,0 ) :

a C = b C W c W = d C W

a = b W c = d C

W = a b = 0,05 0,001 = 50 C = c d = 0,05 0,0001 = 500

Portanto, o único outro par possível é C , W = ( 500,50 ) . Então é possível que as duas espécies convivam em harmonia, sem serem extintas.

Resposta

(a) A população estável nas espécies corresponde à d C d t = 0 e d C W d t = 0

(b) Representar isso matematicamente é afirmar que a população é nula, ou seja, C = 0 .

(c) Um par é ( C , W ) é ( 0,0 ) e o único outro par possível é C , W = ( 500,50 ) . Então é possível que as duas espécies convivam em harmonia, sem serem extintas.

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