Enunciado

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O bismuto-210 rem uma meia vida de 5,0 dias.

(a) Uma amostra tem originalmente uma massa de 800 mg. Encontre uma fórmula para a massa remanescente depois de t dias.

(b) Encontre a massa remanescente depois de 30 dias.

(c) Quando a massa se reduzirá a 1 mg?

(d) Esboce o gráfico da função massa.

Passo 1

Item a:

O tempo de meia-vida em questão é a cada 5,0 dias, isso significa que a cada 5,0 dias a massa ( m t com t em dias) do elemento é reduzida pela metade. Se a massa inicial do elemento é m 0 = 800 mg. Como a taxa de decaimento relativa é sempre constante, podemos relacionar massa do bismuto-210 com uma equação exponencial do tipo: y t = y 0 e k t

Passo 2

Neste caso, y t =   m t , y 0 = m 0 = 800 mg, t é o tempo em dias e k é a taxa de decaimento relativo que pode ser calculada com os dados fornecidos.

Sabemos que quando t = 5 dias a massa remanescente do bismuto-210 é a metade da massa inicial, ou seja, m 5 = m 0 2 . Logo, podemos aplicar na equação exponencial:

y t = y 0 e k t

m t = m 0 e k t

m 5 = m 0 e k 5

m 0 2 = m 0 e k 5

e k t = 1 2 ⇒ ln ⁡ e k 5 = ln ⁡ 1 2

5 k = ln ⁡ 1 2

k = ln ⁡ 1 2 5 = - ln ⁡ 2 5

Logo, a função para a massa remanescente depois de t dias é:

  m t = 800 e - ln ⁡ 2 5 t

Ou, simplificando:

m t = 800 2 t 5

Passo 3

Item b:

A massa remanescente depois de 30 dias corresponde a m ( 30 ) , então:

m t = 800 2 t 5

m 30 = 800 2 30 5 = 800 2 6 = 800 64

m 30 = 12,5 (mg)

Logo, a massa após 30 dias é de 12,5 mg.

Passo 4

Item c:

A massa se reduzirá a 1 mg quando m t = 1 mg, ou seja:

m t = 1 = 800 2 t 5

2 t 5 = 800 ⇒ ln ⁡ 2 t 5 = ln ⁡ 800

t 5 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 800 ⇒ t 5 = ln ⁡ 800 ln ⁡ 2

t = 5 × ln ⁡ 800 ln ⁡ 2 = 48,21928095 dias

Logo, a massa reduzirá a 1 mg em aproximadamente 48 dias.

Passo 5

Item d:

O gráfico que representa a curva é:

Resposta

(a) m t = 800 2 t 5 .

(b) A massa após 30 dias é de 12,5 mg.

(c) A massa reduzirá a 1 mg em aproximadamente 48 dias.

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