Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 8
O bismuto-210 rem uma meia vida de dias.
(a) Uma amostra tem originalmente uma massa de mg. Encontre uma fórmula para a massa remanescente depois de dias.
(b) Encontre a massa remanescente depois de dias.
(c) Quando a massa se reduzirá a mg?
(d) Esboce o gráfico da função massa.
Passo 1
Item a:
O tempo de meia-vida em questão é a cada dias, isso significa que a cada dias a massa ( com em dias) do elemento é reduzida pela metade. Se a massa inicial do elemento é mg. Como a taxa de decaimento relativa é sempre constante, podemos relacionar massa do bismuto-210 com uma equação exponencial do tipo:
Passo 2
Neste caso, , mg, é o tempo em dias e é a taxa de decaimento relativo que pode ser calculada com os dados fornecidos.
Sabemos que quando dias a massa remanescente do bismuto-210 é a metade da massa inicial, ou seja, . Logo, podemos aplicar na equação exponencial:
Logo, a função para a massa remanescente depois de dias é:
Ou, simplificando:
Passo 3
Item b:
A massa remanescente depois de dias corresponde a , então:
(mg)
Logo, a massa após 30 dias é de 12,5 mg.
Passo 4
Item c:
A massa se reduzirá a mg quando mg, ou seja:
dias
Logo, a massa reduzirá a mg em aproximadamente dias.
Passo 5
Item d:
O gráfico que representa a curva é:
Resposta
(a) .
(b) A massa após 30 dias é de 12,5 mg.
(c) A massa reduzirá a mg em aproximadamente dias.
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