Lista de Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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A voltagem V (volts), a corrente I (amperes) e a resistência R (ohms) de um circuito elétrico (veja a seguir) estão relacionadas entre si pela equação V = I R . Suponha que V esteja aumentando a uma taxa de 1 v o l t s / s , enquanto I está diminuindo a uma taxa de 1 / 3 A / s . Representaremos o tempo t em segundos.

a ) Qual é o valor de d V / d t ?

b ) Qual é o valor de d I / d t ?

c ) Qual equação relaciona d R / d t , d V / d t e d I / d t ?

d ) Encontre a taxa com a qual R está variando quando V = 12 e I = 2 A . R está aumentando ou diminuindo?

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Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x ² + y 2 a distância entre os pontos ( x , 0 ) e ( 0 , y ) no plano x y .

a ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t se y é constante?

b ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t e d y / d t se nem x nem y são constantes?

c ) Como d x / d t está relacionada a d y / d t se 𝑠 é constante?

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Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume de água na piscina t min após começar o escoamento, onde

V = 250 1600 - 80 t + t 2 ,

ache:

a ) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

b ) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5   m i n após o início do escoamento.

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Sejam f x = x 2 + 1 , com x > 0 e P = a , b um ponto sobre o gráfico de f . Considere a reta r tangente ao gráfico de f no ponto P e Q = ( x , 0 ) o ponto em que r intercepta o eixo 0 x .

( a ) Determine, em termos da abscissa a de P , a abscissa do ponto Q .

Suponha que o ponto P esteja sobre o gráfico de f e que no instante em que P = ( 2,5 ) sua abscissa a esteja se deslocando a uma taxa de variação de 3 unidades por segundo.

( b ) Determine a taxa de variação da abscissa do ponto Q nesse instante.

( c ) Seja α o ângulo que a reta r forma com o eixo 0 x . Determine a taxa de variação de α nesse mesmo instante.

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Uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação s = t , sendo s a distância (em metros) da partícula ao seu ponto de partida, após decorridos   t segundos da partida.

(a) Calcule a velocidade média da partícula de t   =   9 até t   =   16 .

(b) Calcule a velocidade instantânea da partícula quando t   =   9 .

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No instante t horas um veículo está 16 t ³ - 24 t   +   16 quilômetros à leste de um ponto de referência na estrada.

(a) Qual a velocidade no instante t   = 1 4 h e qual é o sentido do movimento em relação ao ponto de referência?

(b) Onde está o veículo quando a velocidade é zero?

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Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de 5   m 3 / s .

a) Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 4 m

b) Sabendo que num determinado instante o balão tem volume de 100   m 3 , determine o volume após 5 segundos

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Um balão esférico esta sendo esvaziado a uma taxa de 4   m 3 / s . Encontre a taxa de decrescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 10   m .

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Uma partícula se movimenta ao longo de uma reta real seguindo a função horária g :   R → R dada por g t = f ( t 4 ) 2 f t 4 2 + 1 , com f : R → R derivável e unidades no sistema MKS. Supondo f 1 = f ' 1 = 1 , calcule a velocidade da partícula no instante t = 1 .

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Uma pedra é jogada de uma altura de 160   m . Um foco de luz está colocado também a 160   m de altura, a uma distância de 10   m da posição inicial da pedra. A altura da pedra após t segundos é A t = - 49 10 t 2 + 160 metros. Com que velocidade se moverá a sombra da pedra sobre o chão 2 segundos após a pedra ser jogada?

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Um aluno foi desafiado a chutar uma bola do alto de um prédio com 30   m e t r o s de altura, de modo a atingir o solo com a inclinação de 45 o . Sabendo-se que a bola descreve uma trajetória parabólica dada pela equação y = 30 - 5 x ² v 0 ² , onde x é a distância percorrida horizontalmente pela bola, y é a altura da bola e v 0 é a velocidade horizontal aplicada pelo aluno no momento do lançamento, determine o valor de v 0 para que o aluno vença o desafio.

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Um reservatório retangular de largura 2 m tem um painel interno que desliza com velocidade de afastamento 0,3 m / m i n .

Sabendo-se que num determinado momento, o volume de água do reservatório da esquerda é 4 m ³ e está crescendo à taxa de 0,5 m 3 / m i n , determine se o nível de água está subindo ou descendo e com que velocidade nos seguintes casos:

a. No instante dado, o reservatório da esquerda tem comprimento 2 m

b. O reservatório da esquerda tem comprimento 4 m , naquele momento

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8) A aresta de um cubo aumenta a uma taxa constante de 10 3 c m / s . Determine a taxa de variação da área da superfície total do cubo no momento em que a medida da aresta é 7 4   c m .

  1. 70   c m 2 / s
  2. 7 2   c m 2 / s
  3. 68   c m 2 / s
  4. 67   c m 2 / s

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Questão 3:

Considere o triângulo retângulo com catetos x e y . Sabemos que x aumenta a uma taxa de 3   c m / s , e que a área do triângulo permanece sempre igual a 6   c m 2 . A que taxa varia a hipotenusa do triângulo, quando x = 3   c m ?

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Uma escada de 12 m de comprimento está apoiada em um muro de 6 m de altura, conforme

representado na figura. A base da escada desliza pelo chão, afastando-se do muro, com velocidade constante de 0,1   m / s . Determinar a taxa de variação instantânea da altura h , indicada na figura, no instante em que a base da escada está a uma distância de 6 m do muro.

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Uma mangueira está enchendo um tanque com água. O tanque tem o formato de um prisma de comprimento 8 m cuja base é um triângulo equilátero (ver figura abaixo). Sabendo que a vazão é constante e igual a 5   m 3 / m i n , determine a taxa de variação da altura da água, h ( t ) , no instante em que ela é 2 3 m   .

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5) Um caminhão despeja cimento sobre o solo, que se acumula em um monte da forma de um cone, cuja altura é igual ao raio da base. Se o volume de cimento aumenta a uma taxa de 10   m 3 / s , a que razão aumenta a área da base do monte formado pelo cimento, quando sua altura é de 4 m ?

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Uma partícula se move sobre a elipse x 2 4 + y 2 2 = 1 ( x e y medidos em metros) deslocando-se no sentido anti-horário. No instante t 0 em que ela passa pelo ponto P = 1 , 3 2 , sua coordenada x decresce a uma taxa de 3   m / s . Quão rápido está variando a distância da partícula à origem 0,0 nesse instante t 0 ?

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Um farol, situado a uma distância de 120 m de uma muralha, completa 2 voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a 150 m do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de:

  1. 150 π   m / m i n
  2. 1125 π   m / m i n
  3. 375 π   m / m i n
  4. 7 50 π   m / m i n
  5. 90 0 π   m / m i n

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Um farol, situado a uma distância de 120 m de uma muralha, completa 3 voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a 150 m do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de:

  1. 150 π   m / m i n
  2. 1125 π   m / m i n
  3. 375 π   m / m i n
  4. 750 π   m / m i n
  5. 900 π   m / m i n

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2) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, de modo que a área da região englobada pela onda cresce à taxa de 6   c m ² / s .   Com que rapizes estará crescendo o raio da onda no instante que este for 5   c m ? Justifique sua resposta

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Um tanque tem 5 m de comprimento e sua seção transversal é sempre um triângulo equilátero, conforme a figura abaixo. Está sendo bombeada água para o interior do tanque a uma taxa de 0,5   m 3 / m i n . Com que velocidade o nível da água estará subindo quando o conteúdo de água no tanque estiver com 0,3   m de profundidade?

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Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de 4   m 3 / s . Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 8   m . Volume da esfera é igual a 4 π 3 r 3 , onde r é o raio.

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