Enunciado

37-40. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

38. Se f x for contínua no intervalo a ,   b e se a integral definida de f x nesse intervalo for nula, então a equação f x = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo a ,   b .

Passo 1

Então pessoal, como sabemos a integral pode ser interpretada como a área de uma região sob o gráfico. Se utilizarmos essa interpretação para uma integral, o valor da área que consideramos é sempre a parte positiva do gráfico, ou seja, toda a parte acima do eixo x . Se temos uma integral definida de f x nula num intervalo qualquer, então isso significa que a mesma área que existe acima do eixo x também existe abaixo desse mesmo eixo, o que implica em, pelo menos, uma solução no intervalo associado.

Se pegarmos uma função do tipo:

f x = x 3

No intervalo - 1 ,   1 , teremos:

∫ - 1 1 x ³ d x = x 4 4 1 - 1 = 1 4 - 1 4 = 0

Isso acontece exatamente porque toda a região que está acima do eixo x também está abaixo do eixo x no intervalo em questão! Além disso:

f x = 0

Tem pelo menos uma solução no intervalo, assim como a afirmação propõe! Sendo assim, podemos concluir que a afirmação é verdadeira!

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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