Enunciado

39-50 Encontre os limites.

39. underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui o que iremos fazer é a encontrar o limite. Más infelizmente diretamente não é possível. Vamos encontrar juntos uma saída.

Quando substituímos direto o zero nessa expressão temos um indeterminação:

(sen 5 (0))/(3 (0)) = (0)/(0)

Pra ESSE TIPO de indeterminação podemos usar a regra de L’Hopital.

Essa regra diz que se derivarmos em cima e em baixo dessa fração podemos calcular o limite do que aparecer, dessa forma:

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = underset(x -> 0)(lim) ((d)/(d x) (sen 5 x))/((d)/(d x) (3 x))

Passo 2

Mas a gente ainda não sabe calcular a derivada de função composta como esse seno, então vamos reescever o limite dizendo que:

5 x = u

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = underset(u -> 0)(lim) (sen u)/(3 ((u)/(5)))

Agora sim podemos usar ao L’Hopital sem problemas:

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = underset(u -> 0)(lim) ((d)/(d u) (sen u))/((d)/(d u) ((3)/(5) u))

Derivada do seno é o cosseno:

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = underset(u -> 0)(lim) ((c os u))/(((3)/(5)))

Agora podemos substituir o u por 0 sem problemas:

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = ((cos 0))/(((3)/(5)))

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = (1)/(((3)/(5)))

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = (5)/(3)

Prontinho, limite calculado

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x) = (5)/(3)

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