Enunciado

1 – 16 Derive.

15. f θ = θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Passo 1

Olá, meu parceiro. Vamos resolver juntos essa atividade.

Aqui a gente vai derivar a função:

f θ = θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Temos aqui o produto de 3 funções, sendo assim, teremos que utilizar a regra do produto.

Dada o produto de função f x ∙ g ( x ) , a regra do produto é:

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

No nosso caso aqui, vamos ter que aplicar a regra do produto 2 vezes, fica um pouco extenso, mas tenho certeza que você vai entender.

As integrais trigonométricas são tabeladas, e para essa atividade a gente vai utilizar as:

sin ⁡ θ ' = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ ' = - sin ⁡ θ

Passo 2

O primeiro passo para derivar essa função é aplicar a regra do produto:

f ' θ = d d θ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Porém temos duas multiplicações nessa expressão, vamos considerar nesse primeiro passo

u = θ

e

v = cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Aplicando então a regra do produto:

f ' θ = d d θ θ ⋅ cos ⁡ θ sen ⁡ θ + d d θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ ⋅ θ

f ' θ = 1 ⋅ cos ⁡ θ sen ⁡ θ + d d θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ ⋅ θ

Agora vamos usar a regra do produto mais uma vez na derivada que sobrou:

f ' θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ + d d θ cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ + d d θ sen ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ ⋅ θ

Colocando então as derivadas do sin ⁡ θ e do cos ⁡ θ :

f ' θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ + - sen ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ ⋅ θ

Então nossa expressão fica:

f ' θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ ⋅ θ

Resposta

f ' θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ ⋅ θ

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