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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 3.1 - Ex. 41

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41) Dada f x = x - 3

  1. Use uma calculadora para tabular valores de f 7 + ∆ x - f ( 7 ) ∆ x quando ∆ x   é   1 ,   0,5 ,   0,1 ,   0,01 ,   0,001 ,     e   ∆ x   é - 1 ,   - 0,5 ,   - 0,1 ,   - 0,01 ,   - 0,001 . A que f 7 + ∆ x - f ( 7 ) ∆ x parece tender quando ∆ x aproxima-se de 0?
  2. Ache f ' (7) aplicando a fórmula (4).
  3. Use uma calculadora para tabular valores de f x - f ( 7 ) x - 7 quando x   é   8 ,   7,5 ,   7,1 ,   7,01 ,   7,001   e   x   é   6 ,   6,5 ,   6,9 ,   6,99 ,   6,9999 . A que f x - f ( 7 ) x - 7 parece tender quando ∆ x aproxima-se de 7?
  4. Ache f ' (7) aplicando a fórmula (7).

Passo 1

Concluímos então que, f 7 + ∆ x - f ( 7 ) ∆ x parece tender a 0,25 quando ∆ x aproxima-se de 0.

Passo 2

A fórmula (4) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = x - 3 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x - 3   e

f x 1 = x 1 - 3  

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x - 3 - ( x 1 - 3   ) ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

f ' x = 1 2 x - 3

f ' 7 = 1 4

Passo 3

Concluímos então que, f x - f ( 7 ) x - 7 parece tender a 12 quando x aproxima-se de 2.

Passo 4

A fórmula (7) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Assumindo que f ( x ) = x - 3 , temos:

Logo, aplicando na definição:

f ' ( 7 ) = lim x → 7 ⁡ x - 3 - 7 - 3 x - 7

Multiplicando pelo conjugado do numerador, temos:

f ' ( 7 ) = lim x → 7 ⁡ ( x - 3 - 7 - 3 ) ( x - 7 ) . x - 3 + 7 - 3 x - 3 + 7 - 3

Simplificando, teremos:

f ' ( 7 ) = lim x → 7 ⁡ x - 3 - ( 4 ) x - 7 . x - 3 + 7 - 3

f ' ( 7 ) = lim x → 7 ⁡ 1 x - 3 + 7 - 3 = 1 4

Resposta

  1. f 7 + ∆ x - f ( 7 ) ∆ x parece tender a 1 4 quando ∆ x aproxima-se de 0.
  2. f ' 7 = 1 4
  3. f x - f ( 7 ) x - 7 parece tender a 1 4 quando x aproxima-se de 2.
  4. f ' 7 = 1 4

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