Encontre dy/dx |_(x=-2) , sabendo que y = (x + 2) / x .

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

d y d x = f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Vamos então aplicar:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ x + h + 2 x + h - x + 2 x h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁡ x + h + 2 x + h - x + 2 x h = lim h → 0 ⁡ x x + h + 2 - x + 2 x + h x + h x h = lim h → 0 ⁡ x x + h + 2 - x + 2 x + h x + h x ⋅ 1 h =

= lim h → 0 ⁡ x 2 + h x + 2 x - x 2 + x h + 2 x + 2 h x + h x h = lim h → 0 ⁡ x 2 + h x + 2 x - x 2 - x h - 2 x - 2 h x + h x h =

= lim h → 0 ⁡ - 2 h x + h x h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁡ - 2 h x + h x h = lim h → 0 ⁡ - 2 x + h x = - 2 x + 0 x = - 2 x 2

Passo 3

Por último vamos aplicar o valor x = - 2 :

f ' - 2 = - 2 - 2 2 = - 2 4 = - 1 2

Pronto, temos que d y d x | x = - 2 = - 1 2 .

Resposta

d y d x | x = - 2 = - 1 2

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