43. Ao invés de seguir, no sentido inverso, as etapas usadas para obter a equação (8) a partir da equação (1), um método alternativo de obter (1) a partir de (8) é o seguinte:

|F̅P| + |F̅´P| = raiz((x-c)^2 + y^2) + raiz((x+c)^2 + y^2)

1 / a (raiz((a^2(x-c))^2 + a^2y^2) + raiz((a^2(x+c))^2 + a^2y^2))

Substituindo a^2 \* y^2 por a^2b^2 - b^2x^2 , e usando (7) obtemos

|F̶P̶| + |F̶´P̶| = |a - c/a \* x| + |a + c/a \* x|

Mostre que o segundo membro acima é 2a , usando o fato de que a > c > 0 e que para todo (x, y) satisfazendo (8), -a <= x <= a .

Passo 1

De primeira, parece um problema super difícil, mas para resolver este tipo de questão será utilizado o conceito de função modular e algumas informações contidas no enunciado.

Passo 2

Sabemos, do conceito de função modular, que:

a - c a x = a - c a x ,     a ≥ c x a - a - c a x ,     a < c x a

Utilizando a informação do enunciado de que - a ≤ x ≤ a , podemos substituir x = a , e reescrever a expressão como:

a - c a x = a - c ,     a ≥ c - a - c ,     a < c

Como do enunciado a > c > 0 temos que só a primeira expressão acima é valida.

Passo 3

Repetindo o mesmo passo para a segunda expressão, vem:

a + c a x = a + c a x ,     a ≥ - c x a - a + c a x ,     a < - c x a

Utilizando a informação do enunciado de que - a ≤ x ≤ a , podemos substituir x = - a , e reescrevendo a expressão como:

a + c a x = a + c ,     a ≥ c - a - c ,     a < c

Como do enunciado a > c > 0 temos que só a primeira expressão acima é valida.

Passo 4

Com isso, teremos que a soma dada será:

F P - + F ´ P - = a - c a x + a + c a x = a - c + a + c = 2 a

Resposta

Demonstração.

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