Enunciado

43-a) Use o Teorema 1.5.5 para provar que se f for contínua em x = c , então lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c )

b)Prove que se lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c ) , então f é contínua em x = c .[Sugestão: O que esse limite nos diz sobre a continuidade de g h = f c + h ? ]

c)Conclua das partes (a) e (b) que f é contínua em x = c se, e só se, lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c ) .

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer aqui é lembrar o que esse Teorema nos diz,né ??

Se lim x → c ⁡ g x = L e se a função f for contínua em L , então lim x → c ⁡ f ( g x ) = f ( L ) . Ou seja,

lim x → c ⁡ f ( g x ) = f (   lim x → c ⁡ g x )

Bom... É isso, acho que agora já podemos, de fato, começar a fazer a questão. Então, vamos lá!

Passo 2

a)Gente, esse limite nós podemos escrever assim:

lim h → 0 ⁡ f ( g h ) ) ,   g h = c + h

Pelo Teorema nós temos que resolver o limite da função de dentro. Assim,

lim h → 0 ⁡ g h = lim h → 0 ⁡ c + h =   l i m h → 0   c + l i m h → 0   h

lim h → 0 ⁡ g h = c

Dessa forma,

f   lim x → c ⁡ g h = f ( c )

Isso quer dizer que:

lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c )

Passo 3

b)Gente, para a função ser contínua em a , por exemplo, lim x → a ⁡ f x = f ( a ) .

Cara se considerarmos c + h = x , nós teremos:

g h = f ( x )

Quando x = c , c + h = c → h = 0 , beleza ?

Assim,

g 0 = f ( c )

Agora, nós temos que calcular os limites:

Quando x → c ,     h → 0 . Assim,

lim h → 0 ⁡ g h = lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c )

Bom, como o valor da função em x = c é igual o valor do limite quando x → c , a função f é contínua em x = c .

Passo 4

c)Como provamos na letra (a) que se f for contínua em x = c , então lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c )

e na letra (b), que se lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c ) , então f é contínua em x = c , vemos que f

é contínua em x = c se, somente se, lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c ) .

Galera, antes de nos despedirmos vamos só reforçar uma coisinha:

Você ainda pode estar pensando que o enunciado da letra (a) e da letra (b) são praticamente iguais, lamento te informar que não são. A hipótese do enunciado da (a) é a conclusão do item (b), bem como a hipótese do item (b) é a conclusão do enunciado da (a), não são a mesma coisa, certo ?

Agora sim, até a próxima!

Resposta

a)Demonstração acima.

b)Demonstração acima.

c) Como provamos na letra (a) que se f for contínua em x = c , então lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c )

e na letra (b), que se lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c ) , então f é contínua em x = c , vemos que f

é contínua em x = c se, somente se, lim h → 0 ⁡ f c + h = f ( c ) .

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No Exemplo 5, usamos o Teorema do Confronto para provar que: lim x → 0 ⁡ x . s e n1 x = 0 Por que não poderíamos ter obtido esse mesmo resultado escrevendo: lim x → 0 ⁡ x . s e n1 x = lim x → 0 ⁡ x .
Esboce os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , onde f é uma função qualquer que satisfaz a desigualdade: 1 - x 2 ≤ f x ≤ cos ⁡ x Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 . O que você pode diz
57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.59. lim x → 0 ⁡ a r cs e n5 x x