Enunciado

5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

14. ∫ 1 - π 1 + π s e c 2 1 4 x - 1 4 d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 1 - π 1 + π s e c 2 1 4 x - 1 4 d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 1 4 x - 1 4

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = 1 4 d x

∴ 4 d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 1 - π 1 + π s e c 2 1 4 x - 1 4 d x = 4 ∫ 1 - π 1 + π s e c 2 u d u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = 1 4 x - 1 4

u 1 - π = 1 4 1 - π - 1 4 = - π 4

u 1 + π = 1 4 1 + π - 1 4 = π 4

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

4 ∫ - π / 4 π 4 s e c 2 u d u = 4 t g   u π 4 - π 4

4 ∫ - π / 4 π 4 s e c 2 u d u = 4 t g   π 4 - t g   - π 4 = 8

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

4 ∫ 1 - π 1 + π s e c 2 u d u = 4 t g   u 1 + π 1 - π

4 ∫ - π / 4 π 4 s e c 2 u d u = 4 t g   1 4 x - 1 4 1 + π 1 - π

4 ∫ - π / 4 π 4 s e c 2 u d u = 4 t g   π 4 - t g   - π 4 = 8

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 1 - π 1 + π s e c 2 1 4 x - 1 4 d x = 8

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Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ 1 x sin ⁡ ( x )d x ; u = x b ∫ 3 x x 2 + 5d x ; u = 4 x 2 + 5
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ x 3 5 x 4 + 2d x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ 1 1 - 4 x 2d x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ e 2 xd x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ t t 4 + 1d x