Enunciado

29-32 Encontre y’’ derivando implicitamente.

30. x + y = 1

Passo 1

Quando derivamos implicitamente a gente diz que y é uma função de x , então ele não pode ser considerado como uma constante, quando derivamos y escrevemos ele como: y '

Aplicando a derivada dos dois lados da equação:

d d x x + y = d d x 1

Derivada da soma é a soma das derivadas:

d d x x + d d x y = 0

1 2 x + d d x y = 0

Como y é função de x precisamos utilizar a regra da cadeia para derivar y , ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é a raiz e a função de dentro é y , então podemos escrever a equação como sendo:

1 2 x + 1 2 y ⋅ d d x y = 0

1 2 x + y ' 2 y = 0

Conseguimos encontrar y ' , como queremos y ' ' vamos precisar derivar mais uma vez.

Passo 2

Vamos isolar y ' antes de aplicar a derivada pela segunda vez:

1 2 x + y ' 2 y = 0

y ' 2 y = - 1 2 x

y ' = - 2 y 2 x

y ' = - y x

Agora sim, aplicando a derivada:

d d x y ' = d d x - y x

Podemos reescrever a expressão dessa forma:

y ' ' = - d d x y ⋅ x - 1 / 2

Para derivar y ⋅ x - 1 / 2 vamos precisar da regra do produto:

u ⋅ v ' = u ' v + v ' u

Aplicando à nossa equação

y ' ' = - d d x y ⋅ x - 1 / 2 + d d x x - 1 / 2 ⋅ y

y ' ' = - d d x y ⋅ x - 1 / 2 + - 1 2 x - 3 / 2 ⋅ y

Nós já calculamos o valor de d d x y :

y ' ' = - y ' 2 y ⋅ x - 1 / 2 + - 1 2 x - 3 / 2 ⋅ y

A gente pode substituir esse y ' da equação:

y ' ' = - - y x 2 y ⋅ x - 1 / 2 - 1 2 x - 3 / 2 ⋅ y

y ' ' = - - 1 2 x ⋅ 1 x - 1 2 x - 3 / 2 ⋅ y

y ' ' = 1 2 x + 1 2 x - 3 / 2 ⋅ y

Podemos isolar y da função do enunciado:

y = 1 - x

E substituir na equação:

y ' ' = 1 2 x + 1 2 x - 3 2 ⋅ 1 - x

y ' ' = 1 2 x + 1 2 x - 3 / 2 - 1 2 x - 3 / 2 ⋅ x

Multiplicando os termos com x , vamos somar os expoentes: - 3 2 + 1 2 = - 1

y ' ' = 1 2 x + 1 2 x - 3 / 2 - 1 2 x

Só vai sobrar uma termo:

y ' ' = 1 2 x - 3 / 2

y ' ' = 1 2 x x

Resposta

y ' ' = 1 2 x x

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