10. y = tg(x); n = 3

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever y = tg ⁡ x , como

y = sen ⁡ x cos ⁡ x

Passo 3

Para

y = - sen ⁡ x cos ⁡ x

Analisamos como uma derivada do produto

y = u v ⟹ y ' = u ' v - u v ' v 2

Passo 4

Realizando a primeira derivada

y ' = u ' v - u v ' v 2

Temos

u = sen ⁡ x e v = cos ⁡ x

Para u

u = sen ⁡ x

u ' = cos ⁡ x

Para v '

v = cos ⁡ x

v ' = - sen ⁡ x

Para v 2

v = cos ⁡ x

v 2 = cos 2 ⁡ x

Passo 5

Agora vamos aplicar na fórmula y '

y ' = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ x - sen ⁡ x ∙ - sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x  

Realizando as multiplicações

y ' = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x   cos 2 ⁡ x  

Lembrando que

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1  

Temos

y ' = 1   cos 2 ⁡ x  

Lembrando também que

1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

Temos

y ' = sec 2 ⁡ x

Passo 6

Realizando a segunda derivada

y ' = d f u d x = d f d u ∙ d u d x

Temos

f = u 2 e u = sec ⁡ x

Para d f d u

f = u 2

f ' = 2 u

f ' = 2 sec ⁡ x

Para d u d x

u = sec ⁡ x

Lembrando

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Utilizando a derivada do quociete temos

u ' = a ' b - a b ' b 2

a = 1 e b = cos ⁡ x

Para a

a = 1

a ' = 0

Para b

b = cos ⁡ x

b ' = - sen ⁡ x

Para v 2

v = cos ⁡ x

v 2 = cos 2 ⁡ x

Aplicando em u '

u ' = 0 ∙ cos ⁡ x + sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

u ' = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

u ' = sen ⁡ x cos ⁡ x ∙ 1 cos ⁡ x

u ' = tg ⁡ x ∙ sec ⁡ x

Passo 7

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y ( 2 ) = 2 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x ∙ sec ⁡ x

y ( 2 ) = 2 sec 2 ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Passo 8

Realizando a terceira derivada

y ' = u ' v + u v '

Temos

u = 2 sec 2 ⁡ x e v = tg ⁡ x

Para u ' , utilizaremos a derivada do produto e a regra da cadeia

u ' = a ' b + a b '

a = 2 e b = sec 2 ⁡ x

a = 2

a ' = 0

b ' = d f c d x = d f d c ∙ d c d x

f = c 2 e c = sec ⁡ x

d f d c = 2 c

d f d c = 2 sec ⁡ x

c = sec ⁡ x , e a derivada da secante já foi realizada no passo 6

Temos

d c d x = tg ⁡ x ∙ sec ⁡ x

Aplicando em b '

b ' = 2 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x ∙ sec ⁡ x

b ' = 2 sec 2 ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Retornando para u '

u ' = 0 ∙ sec 2 ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ x ∙ tg ⁡ x

u ' = 4 sec 2 ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Para v ' , a dericada da tangente já foi realizada no passo 5

v = sen ⁡ x cos ⁡ x

v ' = sec 2 ⁡ x

Passo 9

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y ( 3 ) = 4 sec 2 ⁡ x ∙ tg ⁡ x ∙ tg ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x ∙ sec 2 ⁡ x

y ( 3 ) = 4 sec 2 ⁡ x ∙ tg 2 ⁡ x + 2 sec 4 ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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