53-a) Encontre ∫ 0 1 f 3 x + 1   d x se ∫ 1 4 f x d x = 5

b) Encontre ∫ 0 3 f 3 x   d x se ∫ 0 9 f x d x = 5

c) Encontre ∫ - 2 0 x   f ( x 2 )   d x se ∫ 0 4 f x d x = 1

Passo 1

a)Galera, vamos começar fazendo uma substituição:

u = 3 x + 1  

d u = 3   d x   → d x = d u 3

Portanto, se x = 0 , u = 1 . Se x = 1 ,   u = 4 .

Fazendo a substituição, nós temos:

1 3 ∫ 1 4 f u   d u

Como ∫ 1 4 f x d x = 5 . Então,

1 3 ∫ 1 4 f u   d u = 1 3 × 5 = 5 3

Passo 2

b) Nesse item também vamos fazer uma substituição:

u = 3 x  

d u = 3   d x   → d x = d u 3

Portanto, se x = 0 , u = 0 . Se x = 3 ,   u = 9 .

Fazendo a substituição, nós temos:

1 3 ∫ 0 9 f u   d u

Como ∫ 0 9 f x d x = 5 . Então,

1 3 ∫ 0 9 f u   d u = 1 3 × 5 = 5 3

Passo 3

c) Nesse item também vamos fazer uma substituição:

u = x 2  

d u = 2 x   d x   → x   d x = d u 2

Portanto, se x = - 2 , u = 4 . Se x = 0 ,   u = 0 .

Fazendo a substituição, nós temos:

1 2 ∫ 4 0 f u   d u

Quiridosss, temos um problema :

A integral que a questão nos oferece é essa aqui:

∫ 0 4 x   f x d x = 1

Perceberam que os extremos estão invertidos em relação a que nós encontramos ???

Mas nem precisa esquentar a cabeça porque sempre existe aquela propriedade que nos salva:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Assim,

- 1 2 ∫ 0 4 f u   d u

Agora sim:

- 1 2 ∫ 0 4 f u   d u = - 1 2 × 1 = - 1 2

Resposta

a ) 5 3

b ) 5 3

c ) - 1 2

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