Encontre o valor médio de f(x) = x / (5x^2 + 1)^2 no intervalo [0, 2] .

Passo 1

Então galera, assim como visto na seção 9 do Anton, para calcularmos o valor médio de uma função em um intervalo fechado, devemos resolver a seguinte expressão, se liga:

f m = 1 b - a ∫ a b f x d x

Para a função que nos foi dada, temos que:

f m = 1 2 - 0 ∫ 0 2 x 5 x 2 + 1 2 d x

f m = 1 2 ∫ 0 2 x 5 x 2 + 1 2 d x

Então é essa integral que temos que resolver, pessoal! Bora lá!

Passo 2

Para resolvermos a integral em questão vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 5 x 2 + 1

Disso tiramos que:

d u = 10 x d x

∴ d u 10 = x d x

Substituindo na nossa integral:

1 2 ∫ 0 2 x 5 x 2 + 1 2 d x = 1 2 0 ∫ 0 2 d u u 2

Resolvendo:

1 20 ∫ 0 2 d u u 2 = - 1 20 1 u 2 0

1 20 ∫ 0 2 d u u 2 = - 1 20 1 5 x 2 + 1 2 0

1 20 ∫ 0 2 d u u 2 = - 1 20 1 5 2 2 + 1 - 1

∴ f m = 1 2 ∫ 0 2 x 5 x 2 + 1 2 d x = 1 21

E esse é o valor médio da função dada!

Resposta

f m = 1 21

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