Enunciado

(a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real.

(b) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha uma raiz.

ln ⁡ x = 3 - 2 x

Passo 1

Fala, gente bonita! Tudo certinho com vocês?

Essa questão pede pra mostrarmos que existe pelo menos uma raiz real nessa equação aqui:

ln ⁡ x = 3 - 2 x

De maneira geral, como não precisamos descobrir qual é a raiz e apenas queremos mostrar que ela existe, a nossa melhor aposta vai ser o Teorema do Valor Intermediário. Já já vamos ver como fazer isso!

Além disso, a questão pede pra usarmos uma calculadora pra encontrarmos um intervalo de comprimento 0,01 que contenha a raiz. Vamos precisar testar alguns valores na calculadora pra isso.

Vem com a gente!

Passo 2

A melhor maneira de usar o Teorema do Valor Intermediário é ter uma equação com um 0 em um dos lados. Então vamos fazer isso na nossa equação:

ln ⁡ x = 3 - 2 x →   ln ⁡ x - 3 + 2 x = 0

Agora vamos definir a função:

f x = ln ⁡ x - 3 + 2 x

A ideia pra provarmos que tem uma raiz vai ser basicamente o seguinte:

Provar que a função é continua num intervalo

Achar dois pontos tal que o f x 1 < 0 e f x 2 > 0

Se conseguirmos usar o Teorema do Valor Intermediário pra provar que f x é igual a 0 pra algum valor de x , mostramos que existe raiz na nossa equação inicial. Pegou a ideia?

Vamos lá!

Passo 3

Em primeiro lugar, precisamos lembrar que o Teorema do Valor Intermediário só é válido pra funções contínuas. Então precisamos checar se f x é contínua.

Uma das formas de provarmos isso é lembrando que se f e g forem contínuas, então f ± g também é contínua.

Podemos afirmar diretamente que ln ⁡ x é contínua em todo o seu domínio, pois se trata de uma função logarítmica. O mesmo vale pra 3 - 2 x , pois se trata de uma função polinomial. Logo, podemos dizer que a função f x = ln ⁡ x - 3 + 2 x também é contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

Agora que sabemos que a nossa função é contínua, basta achar um valor de f ( x ) positivo e um negativo, pois assim, garantirmos que a curva irá cruzar o eixo x , portanto, uma raiz. Olha só uma ilustração desse lance de cruzar o eixo x :

Vamos ver

f x = ln ⁡ x - 3 + 2 x

Para x = 1 :

f 1 = 0 - 3 + 2 ⋅ 1 →

→ f 1 = - 1 < 0

Achamos um valor negativo, agora basta acharmos um positivo.

Para x = 10 :

f 10 = ln ⁡ 10 - 3 + 2 ⋅ 10 →

f 10 = ln ⁡ 10 + 17 > 0

Pelo Teorema do Valor Intermediário, vemos que existe pelo menos uma raiz entre os pontos x = 1 e x = 10 .

Boa! Partiu próximo!

Passo 5

(b) Esse item é tentativa e erro. Usando uma calculadora vemos o seguinte:

f x = ln ⁡ x - 3 + 2 x

Podemos tentar esboçar um gráfico para facilitar, olha só:

Para x = 1,340 :

f 1,340 ≈ - 0,0273

Para x = 1,341 :

f 1,341 ≈ - 0,0246

Ainda negativo. Estamos perto, mas precisamos aumentar um pouco mais o valor de x :

Para x = 1,345 :

f 1,345 ≈ - 0,0136 < 0

Estamos perto! Só mais um pouquinho agora:

E para x = 1,355 :

f 1,355 ≈ 0,0138 > 0

Opa, achamos um valor positivo de f ( x 1 ) e um valor negativo de f x 2 tal que x 2 - x 1 = 0,01 . Dessa maneira, o intervalo é:

( 1,345 ,   1,355 )

Resposta

a) Resposta no texto

b)

( 1,345 ,   1,355 )

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Se f é contínua em ( - ∞ , ∞ ) , o que você pode dizer sobre seu gráfico?
Esboce o gráfico de uma função que tenha uma descontinuidade de salto em x = 2 e uma descontinuidade removível em x = 4 , mas seja contínua no restante.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . g x = x + 1 2 x 2 - 1 , e ma = 4 .