Enunciado

Esboce o gráfico de uma função que tenha uma descontinuidade de salto em x = 2 e uma descontinuidade removível em x = 4 , mas seja contínua no restante.

Passo 1

Olá, vamos para mais essa resolução?

Então, a gente tem aqui uma atividade que nos pede para desenharmos o gráfico de uma função que contenha uma descontinuidade de salto no ponto x = 2 e uma descontinuidade removível em x = 4 .

É importante deixar claro que não é necessário escrever uma expressão matemática para a função, o enunciado pede apenas um esboço de um gráfico.

Uma descontinuidade de salto é do tipo:

Uma descontinuidade de salto ocorre em uma função quando há uma mudança abrupta no valor da função em um ponto específico. Essa mudança é como um "salto" na função quando você passa por esse ponto.

Uma descontinuidade removível aparece quando os limites laterais à direita e à esquerda são iguais entre si, porém diferentes do valor da função. Graficamente ele se apresenta assim:

Passo 2

Considerando a função constante, é simples construir a função que tem uma descontinuidade no ponto dado   x   =   2   . Por exemplo, podemos usar a função

f x = 3 ,   s e   x ≤ 2 0 ,   s e   x > 2

Podemos concluir que é contínua nos intervalos - ∞ , 2 e 2 , ∞ . Uma vez que tem os valores constantes à esquerda de 2 com valor 3 e à direita de 2 com valor 0 , temos que

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ 3 = 3

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ 0 = 0

Os limites 1 e 2 são distintos, então a função dada tem uma descontinuidade de salto em   x   =   2   , mas é contínua em   x   =   4   e este é o problema. Portanto, precisamos fazer alguma modificação nesta função. Talvez a maneira mais fácil de obter a descontinuidade removível em   x   =   4   seja usar o ponto 4 ,   f 4 e movê-lo para algum outro ponto na linha   x   =   4   . Esta é a abordagem geométrica e é necessário nos inspirar para construir a função

g x = 3 ,   s e ≤ 2 0 ,   s e   2 < x < 4 4 ,   s e   x = 4 0 ,   s e   x > 4

Uma vez que tem os valores constantes à esquerda de 4 com valor 0 e à direita de 4 com valor 0 , temos que

lim x → 4 - ⁡ g x = lim x → 4 - ⁡ 0 = 0 = lim x → 4 + ⁡ 0 = lim x → 4 + ⁡ g x

O resultado implica que lim x → 4 ⁡ g x existe e é igual a 0 , mas não é igual a f 4 , então a função dada tem a descontinuidade removível em   x   =   2   . Portanto, a função   g   satisfaz a condição dada e seu gráfico é dado na figura abaixo.

Resposta

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a) Do gráfico de f , explique os pontos em que f é descontínua e explique por quê.b) Para cada um dos pontos indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Do gráfico de g , diga os intervalos em que g é contínua.
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. f x =2 x + 3 x - 2 , ( 2 ,∞ )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2