Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 58
56. Qual é a menor área de um triângulo que é cortado pelo primeiro quadrante e cuja hipotenusa é tangente à parábola em algum ponto
Passo 1
Queremos a menor área de um triângulo que é cortado pelo primeiro quadrante e cuja hipotenusa é tangente à parábola em algum ponto. Vamos desenhar pra ficar mais claro:
Passo 2
Vamos pegar um ponto que passe pela tangente que ele nos diz. Como ele pertence a curva , podemos escrever ele da seguinte maneira:
Para traçarmos uma reta tangente a esse ponto precisamos achar o coeficiente angular. Como a reta é tangente a curva, o coeficiente angular da reta será a derivada no ponto, olha só:
Derivando,
Para o ponto :
Então a reta fica o seguinte:
Logo,
O ponto de interseção com o eixo é e com o eixo acontece quando Assim,
Logo,
Repare que a área triangulo vai ser o seguinte:
Isto é,
Passo 3
Agora vamos derivar e igualar a 0 para achar os ponto de máximo e mínimo:
Arrumando as coisas:
Então,
Resolvendo a equação do segundo grau em :
Portanto,
Como :
Agora é só achar a área.
Para
Então,