Enunciado

56. Qual é a menor área de um triângulo que é cortado pelo primeiro quadrante e cuja hipotenusa é tangente à parábola y = 4 - x 2 em algum ponto

Passo 1

Queremos a menor área de um triângulo que é cortado pelo primeiro quadrante e cuja hipotenusa é tangente à parábola y = 4 - x 2 em algum ponto. Vamos desenhar pra ficar mais claro:

Passo 2

Vamos pegar um ponto que passe pela tangente que ele nos diz. Como ele pertence a curva y = 4 - x 2 , podemos escrever ele da seguinte maneira:

P = a , 4 - a 2

Para traçarmos uma reta tangente a esse ponto precisamos achar o coeficiente angular. Como a reta é tangente a curva, o coeficiente angular da reta será a derivada no ponto, olha só:

y = 4 - x 2

Derivando,

y ' x = - 2 x

Para o ponto x = a :

y ' x = - 2 a

Então a reta fica o seguinte:

y - 4 - a 2 = - 2 a ⋅ x - a

Logo,

y = - 2 a x + a 2 + 4

O ponto de interseção com o eixo y é a 2 + 4   e com o eixo x acontece quando y = 0 . Assim,

- 2 a x + a 2 + 4 = 0

Logo,

x = a 2 + 4 2 a

Repare que a área triangulo vai ser o seguinte:

A = a 2 + 4 ⋅ a 2 + 4 2 a 2

Isto é,

A ( a ) = a 4 + 8 a 2 + 16 4 a

Passo 3

Agora vamos derivar e igualar a 0 para achar os ponto de máximo e mínimo:

A ' a = 4 a 3 + 16 a ⋅ 4 a - a 4 + 8 a 2 + 16 ⋅ 4 16 a 2 = 0

Arrumando as coisas:

16 a 4 + 64 a 2 - 4 a 4 - 32 a 2 - 64 16 a 2 = 0

Então,

12 a 4 + 32 a 2 - 64 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau em a 2 :

a 2 = - 32 ± 32 2 - 4 ⋅ 12 ⋅ - 64 2 ⋅ 12

Portanto,

a 2 = - 8 ± 16 6

Como a 2 > 0 :

a 2 = 4 3 → a = 4 3 = 2 3

Agora é só achar a área.

A ( a ) = a 4 + 8 a 2 + 16 4 a

Para a = 2 3

A 2 3 = 16 9 + 8 ⋅ 4 3 + 16 4 ⋅ 2 3

Então,

A 2 3 = 32 3 9

Resposta

A = 32 3 9  

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