Enunciado

59. Uma função f é a razão de duas funções quadráticas e possui uma assíntota vertical x = 4 e somente um intercepto com o eixo das abscissas em x = 1 . Sabe-se que f possui uma descontinuidade removível em x = - 1 e lim x →   - 1 ⁡ f x = 2 . Calcule

a) f ( 0 )

b) lim x → ∞ ⁡ f x

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema foi dada algumas características de uma função e nosso objetivo é obter f 0 e lim x → ∞ ⁡ f x com base nessas características.

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Como nossa função é a razão de duas funções quadráticas, vamos expressá-la da seguinte maneira:

f x = m ⋅ ( x - b ) ⋅ ( x - c ) n ⋅ ( x - d ) ⋅ ( x - e )

Mas podemos juntos esse m / n numa variável só. Logo,

f x = a ⋅ ( x - b ) ⋅ ( x - c ) ( x - d ) ⋅ ( x - e )

Sabemos que nossa função possui assíntota vertical em x = 4 e quando uma função possui assíntota vertical isso quer dizer que ela vai para infinito. No caso de uma função racional, isso acontece quando o denominador vai para zero.

Além disso ela cruza o eixo das abcissas apenas em x = 1 , isso é, essa função vai pra zero em x = 1 . No caso de uma função racional, isso ocorre quando o numerador vai pra zero.

Por fim, sabemos que x = - 1 é um ponto de descontinuidade removível. Isso quer dizer que esse ponto zera tanto o numerador quanto o denominador, e nós conseguimos corta-lo anulando o termo do numerador com o do denominador.

Opa, as coisas estão começando a fazer sentido hein.

Veja só! 😉

Passo 2

Para analisar as assíntotas verticais, vamos olhar o caso em que f x → ∞ ou f x → - ∞ . Na nossa função, isso ocorre quando o denominador é 0 . Assim,

x - d ⋅ x - e = 0

Como x = 4 zera a expressão acima:

4 - d 4 - e = 0

Isso é verdade se

d = 4 ou e = 4

Vamos considerar que d = 4 . Então,

f x = a ⋅ ( x - b ) ⋅ ( x - c ) ( x - 4 ) ⋅ ( x - e )

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

O enunciado nos disse que x = - 1 é um ponto de descontinuidade removível, isto é, ele faz zerar tanto o denominador quanto o numerador.

Para zerar é necessário termos um termo que é:

x + 1 Afinal, isso aí zera quando x = - 1 :

- 1 + 1 = 0

Ou seja, temos esse termo no numerador e no denominador.

Assim, podemos simplificar e remove-lo. Sacou?!

Então a função fica o seguinte:

f x = a ⋅ ( x + 1 ) ⋅ ( x - c ) ( x - 4 ) ⋅ ( x + 1 )

Passo 4

O enunciado também nos disse o seguinte: “ f possui somente um intercepto com o eixo das abscissas em x = 1 ”. Logo,

f 1 = 0

Ou seja, há um termo no numerador que zera quando x = 1 , logo temos algo que é:

x - 1

Afinal, esse termo zera quando x = 1 , dessa forma, descobrimos então que:

x - c = x - 1

Sendo assim, a função fica:

f x = a x + 1 x - 1 x - 4 x + 1

Recapitulando:

x - 1 apareceu no numerador que por que x = 1 é uma raíz dessa função. x + 1 apareceu no denominador e no numerador por que x = - 1 é uma descontinuidade removível. x - 4 apareceu no denominador, pois x = - 4 é uma assíntota vertical.

Agora, só falta descobrir o a .

Passo 5

Sabemos pelo enunciado que:

lim x →   - 1 ⁡ f x = 2

Logo,

lim x →   - 1 ⁡ a x + 1 x - 1 x - 4 x + 1 = 2

Para resolver o limite, vamos tirar a indeterminação, cortando x + 1

lim x →   - 1 ⁡ a x - 1 x - 4 = 2

Substituindo o valor do limite, temos:

a - 1 - 1 - 1 - 4 = 2

Portanto,

a - 2 - 5 = 2

Dessa forma, teremos por fim:

a - 2 = - 10

a = 5

E nossa f x fica então:

f x = 5 x + 1 x - 1 x - 4 x + 1

Passo 6

E finalmente com f x obtido, vamos obter f 0

f 0 = 5 ⋅ 1 ⋅ - 1 - 4 ⋅ 1 = 5 4

E o limite de f quando x → ∞

L = lim x → ∞ ⁡ 5 ⋅ x + 1 ⋅ x - 1 x - 4 ⋅ x + 1

Aqui, podemos colocar o x de maior potência em evidência:

lim x → ∞ ⁡ 5 ⋅ x 1 + 1 / x ⋅ x 1 - 1 / x x 1 - 4 / x ⋅ x 1 + 1 / x

Quando x tende a infinito, dividir por x tende a zero, logo:

lim x → ∞ ⁡ 5 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 1 - 0 x 1 - 0 ⋅ x 1 + 0

Sendo assim ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ 5 ⋅ x ⋅ x x ⋅ x

E podemos por fim cortar os x de cima com os de baixo:

lim x → ∞ ⁡ 5 ⋅ x ⋅ x x ⋅ x = 5

L = 5

E fim! O que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

  1. f 0 = 5 4

lim x → ∞ ⁡ f x = 5

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