Enunciado

57. Aplique a lei dos cossenos ao triângulo da figura a seguir para deduzir a fórmula para cos ⁡ ( A - B ) .

Passo 1

Pra começar, olha bem pra imagem do enunciado:

Nota o seguinte galera, se pegarmos o ângulo A da figura e subtrairmos dele o ângulo B , acabamos achando o ângulo θ :

E destacando o triângulo grande que temos aí dentro:

Show galera, é aqui que a lei dos cossenos entra! Pra esse triângulo vamos ter:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ θ

Vamos lembrar no entanto que esse triângulo está dentro de um círculo, de forma que tanto a quanto b são lados iguais ao raio do círculo. Como o raio é igual a 1 e θ = A - B :

c 2 = 1 2 + 1 2 - 2 ⋅ 1 ⋅ 1 cos ⁡ ( A - B )

c 2 = 2 - 2 cos ⁡ A - B

Agora só precisamos encontrar o valor de c que a questão está resolvida.

Passo 2

Pra achar o valor de c , a gente pode estabelecer pontos M e N tais que:

Assim, a distância entre esses dois pontos será o tamanho de c . Primeiro pro ponto M , olhando somente pro primeiro quadrante, temos:

Da trigonometria:

sin ⁡ B = y 1 = y

cos ⁡ B = x 1 = x

Logo:

M = x , y = cos ⁡ B , sin ⁡ B

Na real na real a gente pode aplicar essa fórmula pra qualquer ponto sobre a circunferência, mesmo que ele esteja em outro quadrante. A única coisa que vai mudar é o ângulo. Ou seja, escrevendo as coordenadas de pontos como esses em função do ângulo, pro ponto N , encontramos:

N = cos ⁡ A , sin ⁡ A

Duvida? Faça um teste pra um A qualquer entre 90 o e 180 o , isto é, um ponto do segundo quadrante. Você verá que o cosseno desse ângulo é negativo e o seno positivo, confirmando a posição dele no segundo quadrante. O mesmo vale pro terceiro e quarto quadrante. Agora, calculando a distância entre esses pontos, temos:

c = d M N = x N - x M 2 + y N - y M 2

c 2 = x N - x M 2 + y N - y M 2

c 2 = cos ⁡ A - cos ⁡ B 2 + sin ⁡ A - sin ⁡ B 2

Passo 3

Agora é só igualar o c 2 das duas equações encontradas. Respectivamente vindo do passo 1 e do passo 2 , temos:

c 2 = 2 - 2 cos ⁡ A - B

c 2 = cos ⁡ A - cos ⁡ B 2 + sin ⁡ A - sin ⁡ B 2

Logo:

2 - 2 cos ⁡ A - B = cos ⁡ A - cos ⁡ B 2 + sin ⁡ A - sin ⁡ B 2

2 - 2 cos ⁡ A - B = cos 2 ⁡ A - 2 cos ⁡ A cos ⁡ B + cos 2 ⁡ B + sin ⁡ A - sin ⁡ B 2

2 - 2 cos ⁡ A - B = cos 2 ⁡ A - 2 cos ⁡ A cos ⁡ B + cos ² ⁡ B + sin 2 ⁡ A - 2 sin ⁡ A sin ⁡ B + sin ² ⁡ B

Juntando os termos ao quadrado do mesmo ângulo, temos:

2 - 2 cos ⁡ A - B = cos 2 ⁡ A + sin 2 ⁡ A + cos ² ⁡ B + sin ² ⁡ B - 2 cos ⁡ A cos ⁡ B - 2 sin ⁡ A sin ⁡ B

E o interior desses colchetes será, pela relação trigonométrica, igual à 1 . Logo:

2 - 2 cos ⁡ A - B = 1 + 1 - 2 cos ⁡ A cos ⁡ B - 2 sin ⁡ A sin ⁡ B

2 - 2 cos ⁡ A - B = 2 - 2 cos ⁡ A cos ⁡ B - 2 sin ⁡ A sin ⁡ B

- 2 cos ⁡ A - B = - 2 cos ⁡ A cos ⁡ B - 2 sin ⁡ A sin ⁡ B

Dividindo dos dois lados por - 2 :

cos ⁡ A - B = cos ⁡ A cos ⁡ B + sin ⁡ A sin ⁡ B

Ta na mão!

Resposta

cos ⁡ A - B = cos ⁡ A cos ⁡ B + sin ⁡ A sin ⁡ B

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