Mostre que lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n =   e x , para qualquer x>o

Passo 1

Para realizar essa demonstração vamos considerar f w = ln ⁡ w . Logo f ' x =   1 w

Agora, da definição de derivada temos:

f ' w =   lim h → 0 ⁡   f w + h - f ( x ) h

Sabendo que f ' x =   1 x , fazemos as substituições:

1 w =   lim h → 0 ⁡   l n w + h - w h

Usando as propriedades de logaritmos temos:

1 w =   =   lim h → 0 ⁡ 1 h . ln ⁡ w + h x  

1 w =   =   lim h → 0 ⁡ ln ⁡ w + h w 1 h  

Vamos transformar em exponencial em ambos os lados, ok?

e 1 w =   e lim h → 0 ⁡ ln ⁡ w + h w 1 h  

e 1 w =   l i m h → 0 e lim h → 0 ⁡ ln ⁡ w + h w 1 h  

Assim,

e 1 w =   l i m h → 0 1 +   h w 1 h

Passo 2

Agora, chamaremos de x =   1 w e n =   1 h

Assim, como h→0 , n→∞ e ficamos com:

e x =   l i m n → ∞ 1 +   x n n

Que é o queríamos demonstrar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados