9-40. Encontre os limites.

38. lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2

Passo 1

Então pessoal, antes de aplicarmos o limite, vamos fazer o possível para simplificar o nosso argumento, tudo bem? O limite que nos foi dado é o seguinte:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2

Conhecendo essa propriedade de logaritmos:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Podemos fazer:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 - ln ⁡ x 2

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ x

Tudo bem, agora sim simplificamos nosso logaritmo!

Passo 2

Uma vez simplificado, acredito que agora podemos aplicar nosso limite. Vamos ver? Se liga:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ x = ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 0

Mas galera, o que seria ln ⁡ 0 ? Vale ressaltar que estamos falando de um valor tendendo a zero pela direita, ou seja, um número infinitamente pequeno e positivo. Qualquer logaritmo que possui o logaritmando entre 0 e 1 resulta em um valor negativo, galera! Sendo assim, podemos dizer que:

ln ⁡ 0 + = - ∞

Logo:

ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 0 = ln ⁡ 2 + ∞ = + ∞

Dessa forma, nosso limite será:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = + ∞

E está aí nosso resultado!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = + ∞

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