Enunciado

41-44. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

44. Se uma função racional p x q x tem uma assíntota horizontal, então o grau de p x deve ser igual ao grau de q ( x ) .

Passo 1

Então pessoal, essa questão é bem tranquila de refutar, uma vez que exercícios feitos anteriores já mostraram que isso jamais será verdade! Para provar que essa afirmação é falsa vamos utilizar um contra exemplo, tudo bem? Vamos adotar as seguintes funções, galera:

p x = x - 12

q x = x 2 - 24

Pegamos duas funções com graus diferentes, certo? Agora vamos ver se aplicando o limite à essa razão conseguimos chegar a algum valor, ou melhor, a alguma assíntota horizontal! Aplicando o limite teremos:

lim x → ∞ ⁡ x - 12 x 2 - 24

Vamos dividir todos os termos por x ² , se liga:

lim x → ∞ ⁡ x - 12 x 2 - 24 = lim x → ∞ ⁡ 1 x - 12 x 2 1 - 24 x 2

Aplicando o limite, teremos como resultado:

lim x → ∞ ⁡ x - 12 x 2 - 24 = 0 1 = 0

Ou seja, encontramos funções p e q que não possuem graus idênticos e que, ainda sim, quando aplicado o limite na razão dessas funções há um resultado aceitável. Dessa forma podemos concluir que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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