Enunciado

Ache a área da região limitada pela reta x = 4 e pela curva x 3 - x 2 + 2 x y - y 2 = 0 . (Sugestão: resolva a equação cúbica em y em termos de x e expresse y como duas funções de x.)

Passo 1

Vejamos que   x 3 - x 2 + 2 x y - y 2 = 0 → x 3 = x 2 - 2 x y + y 2 → x 3 = x - y 2 →

Dessa forma, temos que x ≥ 0 .   Aplicando raiz quadrado dos dois lados, teremos:

y - x = x 3 → y = x ± x 3 ,   ∀ x ≥ 0

Passo 2

Então, teremos que a área desejada estará com y variando entre as duas funções e x variando de 0 até 4.

Para calcularmos a área, utilizaremos a integral A = ∫ f ( x ) d x , sabendo que f x = y 1 - y 2 , onde y 1 = x + x 3   e   y 2 = x - x 3 . Daí teremos que:

A = ∫ 0 4 x + x 3 - x - x 3 d x = ∫ 0 4 2 x 3 d x   = ∫ 0 4 2 x 3 / 2 d x

2 x 5 / 2 5 / 2 0 4 = 2 2 5 4 5 / 2 - 0 5 / 2

Como 4 = 2 2 , vamos ter 4 5 / 2 = 2 2 5 / 2 = 2 5 = 32

A = 2 2 5 32

A = 128 5   u . a .

Resposta

128 5   u . a .

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