Lista de Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de

f x = x 3 1 - x 2

E o eixo x , com x ∈ 0 , 1 2

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Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = cossec 2 ⁡ x           ;           y = 2 + cotg 2 ⁡ x           ;           1 ≤ x ≤ 2

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Considere a região R delimitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2

( a ) Esboce a região R .

( b ) Calcule a área da região R .

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Seja R a região limitada entre y = x - x 2 e o eixo x . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide R em duas subregiões com áreas iguais.

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Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x 2 + 1   e y = | 2 x | . Faça um esboço da região.

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Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 x         ;           y = x           ;           y = x 4           ;           x > 0

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Determine a área da região R , onde:

R é a região limitada pela curva y = x 3 + x , pelo eixo x e pelas retas x = - 2 e x = 1 .

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Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 - x 2           ;           y = 1 + x 2           ;           y = - 3 x 2 + 2             ;         x = 1

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( a ) Calcule a área da região

A = x , y ∈   R 2 : x > 0 ,   y ≤ 1 , 1 x ≤ y ≤ 4 x 2

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( a ) Seja f x = - x 2 + 2 x e considerar a reta r de equação y = c x , c > 0 . Determine o valor de c para o qual as áreas A 1 e A 2 mostradas na figura são iguais.

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Na figura abaixo está o gráfico de g x = 1 1 + x 2 .

Seja f x = 1 - x 2 2 . Desenhe a região compreendida entre os gráficos de f e g e as retas x = 0 e x = 2 . Calcule a sua área.

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Dado o gráfico de f x = x 3 - 2 x 2 + 2 abaixo, determine a área compreendida entre os gráficos de f e g x = x 2 - 2 x + 2 , para 0 ≤ x ≤ 2 .

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Determine a área da figura plana delimitada pelos gráficos de f x = e x e g x = 1 - 2 x 3 e pelas retas x = - 1 e x = 1 .

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Calcule a área da região limitada compreendida entre os gráficos de f x = x 2 1 - x 2 e g x = x 2 x - 1 .

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b Determine a área entre as curvas y = x 2 e x = y 3 , com 0 < x < 1 .

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Considere a região R delimitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2

( a ) Esboce a região R .

( b ) Calcule a área da região R .

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Determine o valor de a e b e calcule a área da região destacada na figura abaixo:

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Na figura abaixo, sabendo que f x = s e n x , determine os valores de a e b e calcule a área da região destacada.

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Na figura abaixo, sabendo que f x = cos ⁡ x , a reta s é a reta horizontal y = 1 e a reta r é tangente ao gráfico da f em x = π 2 , ache a área da região cinza.

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Considere f : 0,2 → R definida por f x = x e x e a reta r tangente ao gráfico da f em x = 1 . Calcule a área da região destacada na figura abaixo:

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Considere os pontos 3,1 e 5,3

  1. Determine a equação da reta que passa por estes dois pontos
  2. Determine a equação da parábola x = - y 2 + b y + c que também passa por estes dois pontos.
  3. Determine a área da região delimitada pela reta e pela parábola acima.

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Considere a região R delimitada pela parábola y = 2 x 2 + 1 , pela reta tangente a esta parábola em - 1,3 e pelas retas y = 0 e x = 0 .

a Esboce a região R , indicando claramente a região na sua figura.

( b ) Determine a equação da reta tangente à parábola em ( - 1,3 ) .

( c ) Encontre a área da região R .

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Calcule a área da região indicada na figura abaixo, onde r corresponde a reta y = - x + 1 e f x = x 3 + x 2 - 2 x :

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Questão 3) Calcular a área da região limitada do plano, delimitada pelos gráficos das seguintes funções: y = 4 , y = x e y = 1 x 2 .

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Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

a) Calcule a área da região R

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Determine a área abaixo da função

f x = 1 x 2 - 16

No intervalo 4 ≤ x ≤ 5

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Os gráficos de

f x = - x 2 + 10         e         g x = 9 x 2

Se interceptam quatro vezes, limitando duas regiões. Encontre a área dessas regiões.

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Calcule a área da região limitada pelos gráficos de f x = x 2 e g x = x 3 no intervalo

0 ≤ x ≤ 1

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Considere as funções f x = x 2 e g x = 2 x 2 + 1 . Calcule a área da região limitada pelos gráficos de f e g no intervalo [ - 1,1 ] .

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Seja R a região limitada entre y = x - x 2 e o eixo x . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide R em duas subregiões com áreas iguais.

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Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x 2 + 1   e y = | 2 x | . Faça um esboço da região.

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Calcule a área da região:

R = x , y   ϵ   R 2 x 4 - x ≤ y ≤ x e 2 x ,     x   ϵ   1,2

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Considere a região plana R limitada pelas curvas y = a ln ⁡ b x , y = c ln ⁡ d x e y = 1 :

  1. Utilizando as informações fornecidas no esboço acima, determine o valor das constantes a , b , c , d .
  2. Escreva a área de R como uma integral ou uma soma de integrais na variável x
  3. Escreva a área de R como uma integral ou uma soma de integrais na variável y
  4. Calcule a área de R pelo método que preferir

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Determine a área hachurada a seguir:

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Esboce e encontre a área da região delimitada pelo gráfico de y = 3 x - 1 , pela reta x = - 4 e pelos eixos x e y .

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A reta de equação y = 1 - x divide a região compreendida entre as parábolas de equações y = 2 x 2 - 2 x e y = - 2 x 2 + 2 em duas partes. Mostre que as áreas das regiões obtidas são iguais e calcule o seu valor.

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Seja f diferenciável. Calcule

∫ 0 1 x f ' x d x

Sabendo que f 1 = 2 e que

∫ 0 1 f x d x

É igual a área da região R entre o gráfico de y = - x 2 e as retas y = 1 , x = 0 e x = 1

( S u g e s t ã o : d d x x f x = f x + x f ' x

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Calcule a área da região R limitada pela curva de equação 4 y 2 - x y 2 - x 2 = 0 e por sua assíntota, situada À direita do eixo y .

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Considere a região R delimitada pelas curvas x = y 4 e y = 2 - x , y = 0

( a ) Esboce a região R .

b Determine uma integral ou soma de integrais em x   que represente a área desta região.

c Determine uma integral ou soma de integrais em y que represente a área desta região

( d ) Calcule a área da região R .

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Seja R a região plana dada por

R = x , y ∈ R 2 x ≥ 2 ,   1 ≤ y ≤ 1 + e - 2 x + 1

a) Esboce a região R . Indique explicitamente os pontos de interseção entre as curvas.

b) Escreva a área da região R através de uma integral na variável x .

c) Calcule a área da região R .

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Considere as curvas x + y + 5 = 0 e x + y 2 + 2 y + 3 = 0 .

  1. Esboce as curvas acima em um mesmo plano cartesiano exibindo os pontos de intersecção com suas abscissas e ordenadas.
  2. Exiba uma ou mais integrais que determinem a área da região delimitada por estas curvas.
  3. Calcule a área desta região.

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Esboce as regiões do plano delimitadas pelos gráficos y = x 3 e y = 2 x - x 2 e calcule a área de cada uma dessas regiões.

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Considere a região Ω destacada na figura abaixo que é delimitada pelas curvas y   =   x 16 -   x 2   e y = - 4 x - x 2 .

A área de Ω é dada por:

  1. ∫ - 4 0 ( x 3 - x 2 - 20 x ) d x
  2. ∫ - 16 0 ( x 3 - x 2 - 20 x ) d x
  3. ∫ - 4 0 ( x 3 - x 2 - 12 x ) d x
  4. ∫ - 16 0 ( x 3 - x 2 - 12 x ) d x

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Seja Ω ( t ) a região do plano delimitada inferiormente pelo eixo x , superiormente pelo gráfico de y = f ( x ) , à esquerda pela reta x   =   0 e à direita pela reta x   =   t .

Se a area Ω t = t 2 e t 2 , entao f 2 =

  1. 20 e 4 .
  2. 22 e 4 .
  3. 24 e 4 .
  4. 16 e 4 .

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Considere a região plana R = x , y ∈ R 2   x - 1 2 + y 2 ≥ 4 ,   0 ≤ y ≤ x - 1 2 + 2 ,   1 ≤ x ≤ 3 } .

a) Esboce abaixo a região R .

b) Escreva a área da região R através de uma soma de integrais na variável y . Atenção: Neste item não é necessário calcular as integrais.

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A área da região delimitada pelas curvas y = e x e y = x e x e as retas x = 0 e x = 3 é igual a:

  1. 2 e - e 3 - 2
  2. 2 e + 2 e 4 - 2
  3. 2 e + 3 e 5 - 2
  4. 2 e + 4 e 6 - 2
  5. e - 2

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A área da região delimitada pelas curvas y = e x e y = x e x e as retas x = 0 e x = 6 é igual a:

  1. 2 e - e 3 - 2
  2. 2 e + 2 e 4 - 2
  3. 2 e + 3 e 5 - 2
  4. 2 e + 4 e 6 - 2
  5. e - 2

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A área da região delimitada pelas curvas y = e x e y = x e x e as retas x = 0 e x = 4 é igual a:

  1. 2 e - e 3 - 2
  2. 2 e + 2 e 4 - 2
  3. 2 e + 3 e 5 - 2
  4. 2 e + 4 e 6 - 2
  5. e - 2

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A área da região delimitada pelas curvas y = e x e y = x e x e as retas x = 0 e x = 5 é igual a:

  1. 2 e - e 3 - 2
  2. 2 e + 2 e 4 - 2
  3. 2 e + 3 e 5 - 2
  4. 2 e + 4 e 6 - 2
  5. e - 2

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Considere as funções f x = x 1 3 e g x = x 2 . Esboce e calcule a área da região R limitada pelos gráficos de f e g no intervalo 0,1 .

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Considere as funções f x = x 1 3 e g x = x 2 . Esboce e calcule a área da região R limitada pelos gráficos de f e g no intervalo 0,1 .

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Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = e - x + x 4 - 2 x 2 + x - 2

g x = e - x + x 4 - 5 x 2 + x + 10

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Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = sen ⁡ 2 x - x 2 + 2 x + 1

g x = sen ⁡ 2 x - 4 x 2 + 2 x + 1 3

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Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = e x + 2 x 2 - 3 x + 4

g x = e x - x 2 - 3 x + 16

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