Ache o comprimento da curva.

y = ln((e^x + 1) / (e^x - 1)), a <= x <= b, a > 0

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = ln ⁡ e x + 1 e x - 1 = ln ⁡ e x + 1 - ln ⁡ ( e x - 1 ) (aqui usei a propriedade ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b ) ,

então f ' x = e x + 1 ' e x + 1 - e x - 1 ' e x - 1 = e x e x + 1 - e x e x - 1 = e x - 1 e x - e x e x + 1 e 2 x - 1 = e 2 x - e x - e 2 x - e x e 2 x - 1

f ' x = - 2 e x e 2 x - 1       →             f ' x 2 = 4 e 2 x e 2 x - 1 2      

Já o intervalo de integração será de x = a até x = b , abscissas dadas no enunciado.

Sendo assim, o comprimento será dado por:

L = ∫ a b 1 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 d x = ∫ a b e 2 x - 1 2 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 d x = ∫ a b e 4 x - 2 e 2 x + 1 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 d x

L = ∫ a b e 4 x + 2 e 2 x + 1 e 2 x - 1 2 d x = ∫ a b e 2 x + 1 2 e 2 x - 1 2 d x = ∫ a b e 2 x + 1 e 2 x - 1 d x

Dividindo por e x , temos:

L = ∫ a b e x + e - x ⏞ cosh ⁡ x e x - e - x ⏟ senh ⁡ x d x = ∫ a b cosh ⁡ x senh ⁡ x d x

Passo 3

Uma primitiva para cosh ⁡ x senh ⁡ x é ln ⁡ | senh ⁡ x | . Pois, ln ⁡ senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x senh ⁡ x . Ela também pode ser obtida fazendo a substituição u = senh ⁡ x .

Agora para resolver, sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = ∫ a b cosh ⁡ x senh ⁡ x d x = ln ⁡ senh ⁡ b - ln ⁡ senh ⁡ a = ln ⁡ senh ⁡ b senh ⁡ a = ln ⁡ senh ⁡ b senh ⁡ a = ln ⁡ e b - e - b e a - e - a

L = ln ⁡ e b - e - b e a - e - a   u . c

Prontinho.

Resposta

L = ln ⁡ e b - e - b e a - e - a   u . c

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