Enunciado

Ache o comprimento das medianas do triângulo com vértices A ( - 3,5 ) , B ( 2,4 ) e C ( - 1 , - 4 ) .

Passo 1

Inicialmente vamos marcar os pontos A , B e C no plano cartesiano e fazer o esboço do triângulo.

Passo 2

Sejam E , F e G o pontos médios dos segmentos A B , A C e B C , respectivamente. Vamos determinar cada um desses pontos. Para o segmento A B , temos o ponto E , e logo:

E = A + B 2

E = - 3,5 + 2,4 2

E = - 1,9 2

E = - 1 2 , 9 2

Show de bola, agora continuamos com essa ideia. Pro ponto F como ponto médio de A C teremos:

F = A + C 2

F = - 3,5 + ( - 1 , - 4 ) 2

F = - 4,1 2

F = - 2 , 1 2

E pra fechar, sendo G o ponto médio de B C :

G = B + C 2

G = 2,4 + ( - 1 , - 4 ) 2

G = 1,0 2

G = 1 2 , 0

Vamos ter então três medianas, que seriam os segmentos C E , B F e A G

Passo 3

Para sabermos o comprimento das medianas basta encontramos a distância de cada vértice ao ponto médio do respectivo lado oposto.

Seja:

A = - 3,5

G = 1 2 , 0

A distância entre A e G é dada por:

d A G = - 3 - 1 2 2 + 5 - 0 2 ⇒

d A G = - 7 2 2 + 5 2 ⇒

d A G = 49 4 + 25 ⇒

d A G = 149 4 ⇒

d A G = 149 2

Seja:

B = ( 2,4 )

F = - 2 , 1 2

A distância entre B e F é dada por:

d B F = 2 - - 2 2 + 4 - 1 2 2 ⇒

d B F = 4 2 + 7 2 2 ⇒

d B F = 16 + 49 4 ⇒

d B F = 113 4 ⇒

d B F = 113 2

Seja:

C = ( - 1 , - 4 )

E = - 1 2 , 9 2

A distância entre C e E é dada por:

d C E = - 1 - - 1 2 2 + - 4 - 9 2 2 ⇒

d C E = - 1 2 2 + - 17 2 2 ⇒

d C E = 1 4 + 289 4 ⇒

d C E = 290 4 ⇒

d C E = 145 2

Resposta

O comprimento da mediana referente ao vértice A é 149 2 , da mediana referente ao vértice B é 113 2 e da mediana referente ao vértice C é 145 2 .

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