Enunciado

Ache uma equação da circunferência que circunscreve o triângulo cujos lados estão sobre as retas x - 3 y + 2 = 0 , 3 x - 2 y + 6 = 0 e 2 x + y - 3 = 0 .

Passo 1

Para encontrar a circunferência, vamos precisar dos três pontos de interseção das três retas duas a duas. Sabemos que a distância de qualquer ponto ao centro é constante e igual ao raio. Sabemos também que a fórmula da distância entre dois pontos P 1 x 1 ,   y 1 e P 2 x 2 ,   y 2 é dada por P 1 P 2 - = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 . Além disso, a equação de uma circunferência com centro no ponto x 0 ,   y 0 e raio r é x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 . Dessa forma, precisamos encontrar as coordenadas do centro e o raio.

Passo 2

Para encontrar os três pontos, precisamos resolver três sistemas simples:

x - 3 y + 2 = 0 3 x - 2 y + 6 = 0 ;   3 x - 2 y + 6 = 0 2 x + y - 3 = 0   e   2 x + y - 3 = 0 x - 3 y + 2 = 0

- 3 x + 9 y - 6 = 0 3 x - 2 y + 6 = 0 ;   3 x - 2 y + 6 = 0 4 x + 2 y - 6 = 0   e   6 x + 3 y - 9 = 0 x - 3 y + 2 = 0

Somando as equações de cada sistema, temos

7 y = 0 ;   7 x = 0   e   7 x - 7 = 0

y = 0 ;   x = 0   e   x = 1

Substituindo em alguma das equações de cada sistema respectivamente, temos que os pontos são - 2 ,   0 , 0 ,   3 e 1 ,   1 .

Passo 3

Para cada ponto, temos que a distância dele até o centro é igual ao raio.

d 2 = r 2

E assim, temos este sistema:

- 2 - x 0 2 + 0 - y 0 2 = r 2   i 0 - x 0 2 + 3 - y 0 2 = r 2   i i 1 - x 0 2 + 1 - y 0 2 = r 2   i i i

4 + 4 x 0 + x 0 2 + y 0 2 = r 2   i x 0 2 + 9 - 6 y 0 + y 0 2 = r 2   i i 1 - 2 x 0 + x 0 2 + 1 - 2 y 0 + y 0 2 = r 2   i i i

Passo 4

Fazendo i - ( i i ) , temos:

4 + 4 x 0 - 9 + 6 y 0 = 0

4 x 0 + 6 y 0 = 5

Passo 5

Fazendo i - i i i , temos:

3 + 6 x 0 - 1 + 2 y 0 = 0

6 x 0 + 2 = - 2 y 0

y 0 = - 3 x 0 - 1

Passo 6

Substituindo o resultado do passo 5 no resultado do passo 4, temos:

4 x 0 + 6 - 3 x 0 - 1 = 5

4 x 0 - 18 x 0 - 6 = 5

- 14 x 0 = 11

x 0 = - 11 14

Passo 7

Substituindo o resultado do passo 6 no resultado do passo 5, temos:

y 0 = - 3 - 11 14 - 1

y 0 = 19 14

Passo 8

Substituindo os resultados dos passos 6 e 7 na equação i do passo 3, temos:

- 2 - - 11 14 2 + 0 - 19 14 2 = r 2

r 2 = 325 98

E assim, podemos substituir os valores encontrados na equação x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 .

Resposta

x + 11 14 2 + y - 19 14 2 = 325 98

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Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.13) centro C ( 0 ,0 ) , focos no eixo dos x , excentricidade e = 2 3 e passa pelo ponto 2 , - 5 3 .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.11) centro C ( 0 ,0 ) , um foco F 0 , - 5 e eixo menor mede 4.
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.15) centro C ( 2 ,4 ) , um foco F ( 5 ,4 ) e excentricidade 3 4 .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.17) centro C ( - 3 ,0 ) , um foco F ( - 1 ,0 ) e tangente ao eixo dos y .