Enunciado

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em ( 0 ,   3 ) e ( 0 ,   - 3 ) e a constante mencionada na definição 10.2.1 é 6 3 .

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da elipse com focos ( 0 ,   - 3 ) e ( 0 ,   3 ) . Além disso, é dito que a constante 2 a é igual a 6 3 . Assim, já temos que a = 3 3 .

Agora só precisamos do centro da elipse e de b . Note que os focos estão sobre o eixo y , de modo que o eixo maior da elipse está sobre esse eixo. O centro será o ponto médio dos focos:

x = 1 2 0 + 0 = 0         e           y = 1 2 - 3 + 3 = 0

Assim, o centro será a origem 0 ,   0 . Vemos assim que a distância de um dos focos até o centro é c = 3 .

Passo 2

Já temos que a = 3 3 e c = 3 . Assim,

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ 27 = b 2 + 9 ⇒ b 2 = 18 ⇒ b = 3 2

Portanto, como o eixo maior da elipse é o eixo y e ela está centrada na origem, temos:

x 2 3 2 2 + y 2 3 3 2 = 1

Portanto,

x 2 18 + y 2 27 = 1

Passo 3

O esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

x 2 18 + y 2 27 = 1

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