Enunciado

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em ( - 5 ,   0 ) e ( 5 ,   0 ) e a constante mencionada na definição 10.2.1 é 20 .

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da elipse com focos ( - 5 ,   0 ) e ( 5 ,   0 ) . Além disso, é dito que a constante 2 a é igual a 20 . Assim, já temos que a = 10 .

Agora só precisamos do centro da elipse e de b . Note que os focos estão sobre o eixo x , de modo que o eixo maior da elipse está sobre esse eixo. O centro será o ponto médio dos focos:

x = 1 2 - 5 + 5 = 0         e           y = 1 2 0 + 0 = 0

Assim, o centro será a origem 0 ,   0 . Vemos assim que a distância de um dos focos até o centro é c = 5 .

Passo 2

Já temos que a = 10 e c = 5 . Assim,

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ 100 = b 2 + 25 ⇒ b 2 = 75 ⇒ b = 5 3

Portanto, a equação da elipse será:

x 2 100 + y 2 75 = 1

Passo 3

O esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

x 2 100 + y 2 75 = 1

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