Enunciado

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Vértices em - 5 2 , 0 e 5 2 , 0 e um foco em 3 2 , 0 .

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da elipse com vértices - 5 2 , 0 e 5 2 , 0 e um foco em 3 2 , 0 . Note que os vértices e os focos estão sobre o eixo x .

Precisamos achar o centro da elipse e os valores de a e b .

O centro será o ponto médio dos vértices:

x = 1 2 - 5 2 + 5 2 = 0             e           y = 1 2 0 + 0 = 0

Assim, o centro será a origem ( 0 ,   0 ) .

Passo 2

Como o centro é a origem, temos que a = 5 2 e c = 3 2 já que o eixo maior dessa elipse é o eixo x .

Desta forma, temos que

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ 25 4 = b 2 + 9 4 ⇒ b 2 = 25 4 - 9 4 = 16 4 = 4 ⇒ b = 2

Assim, a equação da elipse centrada na origem com eixo maior no eixo x será

x 2 5 2 2 + y 2 2 2 = 1

Portanto,

x 2 25 4 + y 2 4 = 1

Passo 3

O esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

4 x 2 25 + y 2 4 = 1

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