Calcule a integral indefinida:

∫ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de senos com argumentos diferentes. Para começar a resolver esse tipo de questão precisamos separar esse produto, ok? Vamos usar primeiro a relação no produto de senos sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x :

sen ⁡ a sen ⁡ b = cos ⁡ ( a - b ) - cos ⁡ ( a + b ) 2

Nesse caso, a = 3 x e b = 5 x , ficamos então com:

∫ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ ( 3 x - 5 x ) - cos ⁡ ( 3 x + 5 x ) 2 d x

= 1 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ - 2 x - cos ⁡ 8 x d x = 1 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 8 x d x

Acima eu usei que cos ⁡ ( - 2 x ) = cos ⁡ ( 2 x ) . Agora vamos separar em duas integrais e resolver uma de cada vez.

∫ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x d x = 1 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ 2 x d x - ∫ sen ⁡ x cos ⁡ 8 x d x

Passo 2

Vamos resolver primeiro a segunda integral:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ 8 x d x

Usando a relação:

sen ⁡ a cos ⁡ b = sen ⁡ ( a + b ) + sen ⁡ ( a - b ) 2

No nosso caso, a = x e b = 8 x , ficamos então com:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ 8 x d x = 1 2 ∫ ( sen ⁡ 9 x + sen ⁡ ( - 7 x ) ) d x = 1 2 ∫ ( sen ⁡ 9 x - sen ⁡ 7 x ) d x

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

∫ sen ⁡ α x d x = - cos ⁡ α x α + C             α ≠ 0

Sendo assim,

1 2 ∫ sen ⁡ 9 x d x - ∫ sen ⁡ 7 x d x = 1 2 - cos ⁡ 9 x 9 - - cos ⁡ 7 x 7 + C

∫ sen ⁡ x cos ⁡ 8 x d x = 1 2 cos ⁡ 7 x 7 - cos ⁡ 9 x 9 + C

Pronto! A primeira já foi.

Passo 3

Agora vai ser a integral:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ 2 x d x

Usaremos a mesma relação anterior. Nesse caso, a = x e b = 2 x , ficamos então com:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ ( sen ⁡ ( 3 x ) + sen ⁡ ( - x ) ) d x = 1 2 ∫ ( sen ⁡ 3 x - sen ⁡ x ) d x

= 1 2 ∫ sen ⁡ 3 x d x - ∫ sen ⁡ x d x = 1 2 - cos ⁡ 3 x 3 - - cos ⁡ x + C

∫ sen ⁡ x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 cos ⁡ x - cos ⁡ 3 x 3 + C

Passo 4

Para terminar, susbtituímos tudo na integral inicial.

∫ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x d x = 1 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ 2 x d x - ∫ sen ⁡ x cos ⁡ 8 x d x

∫ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x d x = 1 2 1 2 cos ⁡ x - cos ⁡ 3 x 3 - 1 2 cos ⁡ 7 x 7 - cos ⁡ 9 x 9

= cos ⁡ x 4 - cos ⁡ 3 x 12 - cos ⁡ 7 x 28 + cos ⁡ 9 x 36 + C

Não se esqueça de que a constante só entra no final.

Resposta

∫ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x d x = cos ⁡ x 4 - cos ⁡ 3 x 12 - cos ⁡ 7 x 28 + cos ⁡ 9 x 36 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados