Enunciado

Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x 2 + 5 x com inclinação mínima.

Passo 1

Queremos uma reta de equação da forma y = a x + b , tal que a , b   ∈ R onde a é mínimo, tangente à curva y = x 3 - 3 x 2 + 5 x . Seja f x = y , vale que:

f ' x = 3 x 2 - 6 x + 5

Vamos calcular as raízes de f ' ( x ) por meio do delta, uma vez que se trata de uma equação do segundao grau:

∆ = 36 - 60 < 0

Como ∆ < 0 ,então f ' ( x )   >   0 para qualquer x real. Isso indica que f é crescente em R e a > 0 para todo x real.

Passo 2

Como queremos o a mínimo, devemos calcular f ' ' ( x ) :

f ' x = 6 x - 6

Analisando o sinal de f ' ' ( x ) :

f ' ' x = 0   p a r a   x = 1 f ' ' x > 0   p a r a   x > 1 f ' ' x > 0   p a r a   x < 1

Logo, vemos que 1 é ponto de mínimo local de f ' ( x ) e f ' 1 = 3 1 2 - 6 1 + 5 = 2 é valor de mínimo local de f ' ( x ) . Repare que tal valor também se refere ao a mínimo. Portanto, a = 2 .

Passo 3

Desse modo, vamos agora escrever a equação da reta tangente

y = a x + b

Sabemos que a = 2 , x = 1 e y = f 1 = 1 - 3 + 5 = 3 . Assim,

3 = 2 * 1 + b b = 1

Por fim, temos que:

y = 2 x + 1

Resposta

A reta tangente com inclinação mínima:

y = 2 x + 1

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