Lista de Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos
Determine o volume do maior cone de revolução que pode ser inscrito em uma esfera de raio .
Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.
Ver solução completaSeja uma reta passando pelo ponto com inclinação negativa. Dentre todos os triângulos retângulos obtidos tomando e a interseção da reta com o primeiro quadrante, encontre as dimensões do que possui a menor hipotenusa.
Ver solução completaQuais são as dimensões da mais leve lata em forma de cilindro reto, sem tampa, para conter exatamente .
Ver solução completaUm campo retangular à margem de um rio deve ser cercado com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de no lado paralelo ao rio e de nos dois extremos, ache o campo de maior área que possa ser cercado com de materiais.
Ver solução completaEncontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de cuja área seja a maior possível.
Ver solução completaSejam e as funções deriváveis traçadas aqui. O ponto é onde a distância vertical entre as curvas é máxima. Há algo de especial em relação às tangentes às duas curvas em ? Justifique sua resposta.
Uma cerca de de altura corre paralela a um edifício alto a uma distância de do edifício. Qual o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio por cima da cerca?
Ver solução completaEncontre o ponto sobre a reta que está mais próximo da origem.
Ver solução completaNa figura abaixo, e são retas paralelas, a distância entre elas é , é um ponto fixo de , e são pontos fixos de e a distância entre eles é . É possível encontrar um ponto na reta , de modo que o segmento intercepte e que a soma das áreas dos triângulos sombreados na figura seja mínima? E máxima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, encontre a altura do triângulo .
A superfície lateral de um cilindro reto é obtida unindo-se os lados e de um retângulo . Dentre todos os retângulos de diagonal , determine o ângulo (ver figura) que permite construir um cilindro de volume máximo.
Um edifício com base retangular de deve ser construído num lote com lados paralelos ao do edifício, sendo exigido recuos de na frente e no fundo, e recuos de nas laterais. Ache as dimensões do lote com menor área onde esse edifício pode ser construído.
Ver solução completaUma janela é construída com um semicírculo e um retângulo como na figura abaixo. Sabendo que seu perímetro é , determine as dimensões da janela para que sua área seja máxima.
Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio . Calcule o volume desse cone.
Ver solução completaSeja uma reta que passa pelo ponto e forma um triângulo com os eixos coordenados positivos. Determine a equação de para que área desse triângulo seja mínima.
Ver solução completaSeja uma reta passando pelo ponto com inclinação negativa. Dentre todos os triângulos retângulos obtidos tomando e a interseção da reta com o primeiro quadrante, encontre as dimensões do que possui a menor hipotenusa.
Ver solução completaAs margens de cima e de baixo de um pôster tem e as margens laterais medem cada. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em , encontre as dimensões do pôster com a menor área.
Ver solução completaUm rio tem de largura. Deseja-se estender um cabo de comunicação ligando os pontos e , situados em margens opostas. O ponto está a justante (isto é, rio abaixo) do ponto , conforme a figura.
O custo de instalação do cabo é de por metro no leito do rio e de por metro no solo seco. Determine quantos metros de cabo deverão ser instalados no rio e quantos em terra para que o custo total seja mínimo.
Ver solução completaDentre todos os retângulos do plano com centro na origem, lados paralelos aos eixos coordenados e inscritos na elipse
determine aquele de maior perímetro.
Ver solução completaEncontre o ponto sobre a curva que está mais próximo do ponto
Ver solução completaConsidere todos os retângulos inscritos na semi-elipse de equação , com , e que possuem um de seus lados sobre o eixo .
- Determine uma função que expresse a área destes retângulos, bem como seu domínio.
- Ache as dimensões do retângulo de maior área.
Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo, cujo diâmetro é igual à largura do retângulo. Suponha que o perímetro da janela normanda é de .
- Escreva a área da janela como função da altura do retângulo correspondente.
- Aplicando os métodos do cálculo diferencial na função do item (a), ache as dimensões da janela com maior área possível, assim como a área desta janela.
Um peso deve ser mantido suspenso a de uma barra horizontal de extremidades e , por um fio na forma de (veja na figura). Sabendo que o segmento mede , qual o fio de menor comprimento que pode ser usado?
Sejam e pontos contidos no eixo e eixo , respectivamente, tais que o segmento ligando e passa por . Determine e tal que a área do triângulo com vértices e é mínima.
Ver solução completaSe é o ponto na curva que está mais próximo de então é:
- nenhuma das alternativas
3) Determine o maior volume possível que pode conter uma caixa (paralelepípedo) com base quadrada, construída com de material, e que não inclui a tampa.
Ver solução completaSe de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.
(a)
(b)
(c) Nenhume das alternativas
(d)
(e)
Ver solução completaConsidere a parábola .
- Encontre uma expressão para a distância de um ponto pertencente à parábola até o ponto .
- Determine o(s) ponto(s) da parábola no(s) qual(is) a distância ao ponto seja mínima.
Determine as dimensões de um cone circular reto de maior volume cuja geratriz tenha de comprimento.
Considere um cone circular reto de altura e raio . Dentre os cilindros circulares retos que podem ser inscritos nesse cone (conforme figura abaixo), determine a altura do cilindro que tem volume máximo.
Dentre todos os triângulos isósceles de perímetro conhecido, determine aquele que possui a maior área.
Ver solução completaUm fazendeiro tem pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área?
(a) por
(b) por
(c) por
(d) por
(e) por
Ver solução completaConsidere todos os triângulos retângulos formados pelos semieixos positivos e por uma reta que passa pelo ponto (2,3). Dentre todos os triângulos possíveis, aquele que possui área mínima tem a hipotenusa valendo:
Ver solução completaUm caixa de água no formato de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero, deverá ser construída e conter de capacidade. Calcule as dimensões desta caixa, de modo que a área total seja mínima
Ver solução completaEncontre os pontos da curva que estão mais distantes do ponto .
Ver solução completaEncontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio . Calcule o volume desse cone.
Ver solução completaUm publicitário está planejando um cartaz retangular que deve ter margens de cm na parte superior e nos lados e uma margem de cm na parte inferior. Por medida de economia, a área total do cartaz deve ser a menor possível, mas a área impressa deve ter cm²: Quais devem ser as dimensões do cartaz? Justifique sua resposta!
Ver solução completaUm cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio . Encontre a maior área de superfície possível para esse cilindro.
Ver solução completaQuais são as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio ?
Ver solução completaDentre todos os triângulos isósceles circunscritos a um círculo de raio existe um cuja área é máxima? E mínima? Se sim, qual é essa área? Justifique.
Ver solução completaEncontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio . Calcule o volume desse cone.
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