Lista de Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Seja l uma reta passando pelo ponto 1,1 com inclinação negativa. Dentre todos os triângulos retângulos A B C obtidos tomando A = 0,0 e B C - a interseção da reta l com o primeiro quadrante, encontre as dimensões do que possui a menor hipotenusa.

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Determine o volume do maior cone de revolução que pode ser inscrito em uma esfera de raio 3 .

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Quais são as dimensões da mais leve lata em forma de cilindro reto, sem tampa, para conter exatamente 1 m 3 .

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Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R $   12 / m no lado paralelo ao rio e de R $   8 / m nos dois extremos, ache o campo de maior área que possa ser cercado com R $ 3.600 de materiais.

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Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado L se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.

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Encontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de 100   m cuja área seja a maior possível.

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Sejam f ( x ) e g ( x ) as funções deriváveis traçadas aqui. O ponto c é onde a distância vertical entre as curvas é máxima. Há algo de especial em relação às tangentes às duas curvas em c ? Justifique sua resposta.

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Uma cerca de 2   m de altura corre paralela a um edifício alto a uma distância de 1   m do edifício. Qual o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio por cima da cerca?

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Encontre o ponto sobre a reta y = 4 x + 7 que está mais próximo da origem.

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( a ) Na figura abaixo, r e s são retas paralelas, a distância entre elas é 2 , C é um ponto fixo de s , A e B são pontos fixos de r e a distância entre eles é 1 . É possível encontrar um ponto D na reta s , de modo que o segmento B D intercepte A C e que a soma das áreas dos triângulos sombreados na figura seja mínima? E máxima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, encontre a altura h do triângulo A B P .

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Considere um cone circular reto de altura 14   c m e raio 5   c m . Dentre os cilindros circulares retos que podem ser inscritos nesse cone (conforme figura abaixo), determine a altura h do cilindro que tem volume máximo.

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A superfície lateral de um cilindro reto é obtida unindo-se os lados A D e B C de um retângulo A B C D . Dentre todos os retângulos de diagonal 40 c m , determine o ângulo θ (ver figura) que permite construir um cilindro de volume máximo.

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Um edifício com base retangular de 2000 m 2 deve ser construído num lote com lados paralelos ao do edifício, sendo exigido recuos de 5 m na frente e no fundo, e recuos de 4 m nas laterais. Ache as dimensões do lote com menor área onde esse edifício pode ser construído.

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Uma janela é construída com um semicírculo e um retângulo como na figura abaixo. Sabendo que seu perímetro é 16   m , determine as dimensões da janela para que sua área seja máxima.

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Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio R . Calcule o volume desse cone.

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Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio R . Calcule o volume desse cone.

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Um caixa de água no formato de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero, deverá ser construída e conter 1.000   l de capacidade. Calcule as dimensões desta caixa, de modo que a área total seja mínima

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Dentre todos os triângulos isósceles de perímetro conhecido, determine aquele que possui a maior área.

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Seja r uma reta que passa pelo ponto ( 4,3 ) e forma um triângulo com os eixos coordenados positivos. Determine a equação de r para que área desse triângulo seja mínima.

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Encontre os pontos da curva 9 x 2 + y 2 = 9 que estão mais distantes do ponto 2,0 .

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Seja l uma reta passando pelo ponto 1,1 com inclinação negativa. Dentre todos os triângulos retângulos A B C obtidos tomando A = 0,0 e B C - a interseção da reta l com o primeiro quadrante, encontre as dimensões do que possui a menor hipotenusa.

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As margens de cima e de baixo de um pôster tem 6   c m e as margens laterais medem 4   c m cada. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384   c m 2 , encontre as dimensões do pôster com a menor área.

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Dentre todos os retângulos do plano R 2 com centro na origem, lados paralelos aos eixos coordenados e inscritos na elipse

x 2 9 + y 2 16 = 1   ,

determine aquele de maior perímetro.

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Um rio tem 400   m de largura. Deseja-se estender um cabo de comunicação ligando os pontos A e C , situados em margens opostas. O ponto C está 1   k m a justante (isto é, rio abaixo) do ponto A , conforme a figura.

O custo de instalação do cabo é de R $   130,00 por metro no leito do rio e de R $   50,00 por metro no solo seco. Determine quantos metros de cabo deverão ser instalados no rio e quantos em terra para que o custo total seja mínimo.

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Um publicitário está planejando um cartaz retangular que deve ter margens de 2 cm na parte superior e nos lados e uma margem de 3 cm na parte inferior. Por medida de economia, a área total do cartaz deve ser a menor possível, mas a área impressa deve ter 180 cm²: Quais devem ser as dimensões do cartaz? Justifique sua resposta!

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Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área?

(a) 400 por 1200

(b) 600 por 1000

(c) 600 por 400

(d) 600 por 1200

(e) 600 por 2000

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Encontre o ponto sobre a curva y = x 3 2 que está mais próximo do ponto 4,0

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Seja Q um ponto da curva x 2 - y 2 = 1 mais próximo do ponto P = 0,2 . A distância entre P e Q é:

  1. 3 .
  2. 2 .
  3. 5 .
  4. 6 .

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Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre a maior área de superfície possível para esse cilindro.

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Considere todos os retângulos inscritos na semi-elipse de equação 4 x ² + y ² = 1 , com y ≥ 0 , e que possuem um de seus lados sobre o eixo O x .

  1. Determine uma função A x que expresse a área destes retângulos, bem como seu domínio.
  2. Ache as dimensões do retângulo de maior área.

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Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo, cujo diâmetro é igual à largura do retângulo. Suponha que o perímetro da janela normanda é de 4 m .

  1. Escreva a área da janela como função da altura do retângulo correspondente.
  2. Aplicando os métodos do cálculo diferencial na função do item (a), ache as dimensões da janela com maior área possível, assim como a área desta janela.

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Um peso P deve ser mantido suspenso a 10   c m de uma barra horizontal de extremidades A e B , por um fio na forma de Y (veja na figura). Sabendo que o segmento mede 8   c m , qual o fio de menor comprimento que pode ser usado?

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Sejam A e B pontos contidos no eixo x e eixo y , respectivamente, tais que o segmento ligando A e B passa por 1 ,   2 . Determine A e B tal que a área do triângulo com vértices A , B e 0 ,   0 é minimal.

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Se P 0 = x 0 ,   y 0 é o ponto na curva y + x 2 = 0 que está mais próximo de - 12 ,   - 15 2 então x 0 + y 0 é:

  1. - 2
  2. - 12
  3. - 6
  4. - 20
  5. nenhuma das alternativas

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Quais são as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r ?

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Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio R . Calcule o volume desse cone.

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3) Determine o maior volume possível que pode conter uma caixa (paralelepípedo) com base quadrada, construída com 1200   c m ² de material, e que não inclui a tampa.

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Se 1.200   c m 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

(a) 4000   c m 3

(b) 3500   c m 3

(c) Nenhume das alternativas

(d) 5000   c m 3

(e) 4500   c m 3

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Considere a parábola y = x 2 .

  1. Encontre uma expressão para a distância de um ponto x , x 2 pertencente à parábola até o ponto 0 , 9 2 .
  2. Determine o(s) ponto(s) da parábola no(s) qual(is) a distância ao ponto 0 , 9 2 seja mínima.

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Dentre todos os triângulos isósceles circunscritos a um círculo de raio 3 existe um cuja área é máxima? E mínima? Se sim, qual é essa área? Justifique.

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Determine as dimensões de um cone circular reto de maior volume cuja geratriz tenha 5 c m de comprimento.

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Considere todos os triângulos retângulos formados pelos semieixos positivos e por uma reta que passa pelo ponto (2,3). Dentre todos os triângulos possíveis, aquele que possui área mínima tem a hipotenusa valendo:

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