Enunciado

Ache a distância mais curta entre o ponto P ( 0,4 ) e o ponto na curva x 2 - y 2 = 16 , e ache o ponto na curva mais próximo de P .

Passo 1

A primeira coisa aqui é lembrar que a distância entre pontos é dada pela fórmula:

d A , B = x b - x a 2 + y b - y a 2

Se um ponto C ( a , b ) pertence a curva, então satisfaz a 2 - b 2 = 16 e a distância de P ( 0,4 ) a este ponto C é:

d P , C = a - 0 2 + b - 4 2 = a 2 + b 2 - 8 b + 16

Sabemos que a 2 = b 2 + 16 , então

d P , C = b 2 + 16 + b 2 - 8 b + 16 = 2 b 2 - 8 b + 32

Portanto a distância entre os pontos é d P , C = f ( b ) = 2 b 2 - 8 b + 32 .

Passo 2

Para achar a distância mais curta, vamos derivar essa função que depende apenas dos valores de b e igualar 0 .

f ' b = 2 b 2 - 8 b + 32 ' 2 2 b 2 - 8 b + 32 = 4 b - 8 2 2 b 2 - 8 b + 32 = 2 b - 4 2 b 2 - 8 b + 32 = 0

2 b - 4 = 0   →       b = 2

Perceba que se b > 2 , então f ' b > 0 e se b < 2 , f ' b < 0 . Isso indica o nosso ponto de mínimo absoluto.

Logo, a distância mais curta é f 2 = 8 - 16 + 32 = 24 = 2 6 .

Passo 3

Para achar o ponto mais próximo, basta substituir b = 2 em a 2 - b 2 = 16 .

a 2 - 2 2 = 16     →       a 2 = 16 + 4 = 20     →       a = ± 20 = ± 2 5

Ou seja, temos dois pontos com essa propriedade. C 1 = 2 5 , 2 e C 2 = - 2 5 , 2 .

Resposta

Distância 2 6 e pontos C 1 = 2 5 , 2 e C 2 = - 2 5 , 2 .

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