Enunciado

Ache uma equação da reta tangente à curva y = 7 x - 6 - 1 / 3 que seja perpendicular à reta 12 x - 7 y + 2 = 0 .

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente a uma curva y = f ( x ) mas não especifica em que ponto deve ocorrer a tangência. Todavia, ela fornece uma informação extra muito importante: a reta que queremos deve ser perpendicular à reta 12 x - 7 y + 2 = 0 .

Isolando y nessa reta, temos que

y = 12 x + 2 7

Assim, o coeficiente angular dessa reta é 12 / 7 . Como as retas devem ser perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser - 1 , assim:

m ⋅ 12 7 = - 1 ,

onde m é o coeficiente angular da reta que queremos. Temos então que

m = - 7 12

Como a equação de uma reta que passa por x 0 , y 0 com inclinação m é dada por

y - y 0 = m   x - x 0 ,

nos falta encontrar o ponto de tangência ( x 0 , y 0 ) .

Passo 2

Sabemos que m = f ' ( x 0 ) . Então vamos calcular f ' ( x ) :

f ' x = - 1 3 7 x - 6 - 4 3 ⋅ 7 x - 6 ' = - 7 3   7 x - 6 4 / 3

Assim,

m = - 7 12 = - 7 3   7 x 0 - 6 4 / 3

Desta forma, fica claro que

3   7 x 0 - 6 4 / 3 = 12 ⇒ 7 x 0 - 6 4 / 3 = 4 ⇒ 7 x 0 - 6 = 4 3 4

Portanto,

7 x 0 - 6 = 2 6 1 4 = 2 ⋅ 2 2 4 = 2 2

Assim,

x 0 = 2 2 + 6 7

Para acharmos y 0 , basta fazer y 0 = f ( x 0 ) :

y 0 = 7 x 0 - 6 - 1 3 = 2 3 2 - 1 3 = 2 - 1 2 = 1 2 = 2 2

Passo 3

Assim, a equação da reta será

y - 2 2 = - 7 12   x - 2 2 + 6 7

Por simplicidade, vamos deixar a resposta assim!

Resposta

y - 2 2 = - 7 12   x - 2 2 + 6 7

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

25 . Uma estimativa anual dos usuários de telefone celular na Malásia, N (em milhares), é mostrada na tabela a seguir.Encontre a taxa média do crescimento. ( i ) de 1995 a 1997 ( i i ) de 1995 a 1996
24 . Uma estimativa anual da população da Bélgica, P (em milhares), de 1992 a 2000 é mostrada na tabela a seguir.Encontre a taxa média do crescimento. ( i ) de 1992 a 1996 ( i i ) de 1994 a 1996 ( i i
Para a função f cujo gráfico é está ilustrado no Exercício 1, disponha os seguintes números em ordem crescente e explique seu raciocínio: 0 f ´ ( 2 ) f ( 3 ) - f ( 2 ) 1 2 f ( 4 ) - f ( 2 )
12. Seja g ( x ) = tan ⁡ x . Estime o valor de g ´ ( π 4 ) de duas maneiras:(a) Use a Definição 2 e tome os valores sucessivamente menores de h .(b) Dê um zoom sobre o gráfico de y = tan ⁡ x e estime
25-26. Uma partícula move-se ao longo de uma reta com equação do movimento s = f ( t ) , onde s é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade quando t = 2 s .25. f ( t ) = t 2 - 6 t - 5