Enunciado

Valéria dirige em uma auto-estrada. Esboce o gráfico da função posição do carro, se ela dirigir da seguinte maneira: no instante t = 0 , o carro está no ponto onde o marcador de milha mostra 15   e viaja a uma velocidade constante de 55 milhas por hora. Continua com essa velocidade por exatamente 1   hora. Então gradualmente com o carro vai diminuindo a velocidade em um período de 2   minutos, quando Valéria para pra jantar. O jantar dura 26 minutos e, assim, então ela recomeça a viagem aumentando gradualmente a velocidade até 65 milhas por hora em um período de 2 minutos. Ela dirige a 65 milhas por   2 horas e, então, num período de 3 minutos, gradualmente para completamente o carro.

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão descreve o percurso de Valeria com seu carro em uma auto-estrada e pede para que a gente esboce um gráfico da função posição do carro com o passar do tempo.

O próprio enunciado vai nos contando a posição, a velocidade e o tempo desse percurso em diferentes momentos. Então vamos usar essas informações passo a passo para construir esse gráfico.

Passo 2

Primeiro vamos escolher as unidades e os eixos. O problema quer a função posição com o passar do tempo. As posições indicadas então em milhas, já o tempo está sendo dado em unidades diferentes no enunciado, temos momentos sendo descritos em horas e outros em minutos. Para que isso não gere confusão, vamos usar uma unidade única, que aqui será o minuto.

E nosso eixo será:

Passo 3

Inicialmente, Valéria sai do ponto correspondente a 15 milhas e anda por 1 hora com uma velocidade constante de 55   m i l h a s / h o r a .

Passando essa velocidade para m i l h a s / m i n u t o , ficamos com 55 60   m i l h a s / m i n u t o .

Esse é um movimento uniforme que pode ser descrito pela função horária:

S t = 55 60 ⋅ t + 15

Logo seu gráfico será a reta crescente descrita para o intervalo de [ 0,60 ] . Assim, nosso gráfico se torna:

Passo 4

Após esse tempo, Valéria começa a diminuir gradualmente sua velocidade por 2 minutos até para completamente seu carro. Ou seja, ela passa a desenvolver um movimento desacelerado para que sua velocidade varie de 55 60   m i l h a s / m i n u t o   para 0   m i l h a s / m i n u t o .

E sua aceleração será:

a = Δ v Δ t = 0 - 55 60 2 = - 55 120 = - 11 / 24

E a equação horária de posição para esse intervalo de [ 60,62 ] será:

S t = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Como esse movimento começa em t = 60   m i n u t o s , precisamos fazer um deslocamento de 60 unidade na função, e ela se torna:

S t - 60 = s 0 + v 0 ( t - 60 ) + a ( t - 60 ) 2 2

S t - 60 = 70 + 55 60 ( t - 60 ) - 11 24 ( t - 60 ) 2 2

S t - 60 = 70 + 55 60 ( t - 60 ) - 11 ( t - 60 ) 2 48

Como são só 2 minutinhos, a curva é bem pequenininha, e a distância final desse percurso é 851 12   m i l h a s , o que dá 70,92   m i l h a s aproximadamente.

Vou dar um zoom pra gente conseguir ver:

É esse pedacinho vermelho aí do gráfico.

Passo 5

Após parar, Valéria fica 26   m i n u t o s parada para jantar. Com isso nosso gráfico será uma reta horizontal no intervalo de [ 62,88 ] .

Passo 6

Depois disso, ela recomeça sua viagem aumentando gradualmente a velocidade até 65   m i l h a s /   h o r a , que é igual a 65 60 m i l h a s / m i n u t o , em um intervalo de 2   m i n u t o s . O que resulta em um movimento acelerado dado por:

a = 65 60 - 0 2 = 65 120 = 13 24

E a equação horária de posição para esse intervalo de [ 60,62 ] será:

S t = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Como esse movimento começa em t = 88   m i n u t o s , precisamos fazer um deslocamento de 88 unidade na função, e ela se torna:

S t - 88 = s 0 + v 0 ( t - 88 ) + a ( t - 88 ) 2 2

Como v 0 = 0 , pois ela estava parada, teremos:

S t - 88 = 851 12 + 13 24 ( t - 88 ) 2 2

S t - 88 = 851 12 + 13 t - 88 2 48

Como, novamente, são só 2 minutinhos, a curva é bem pequenininha, e a distância final desse percurso é 72   m i l h a s .

Passo 7

Após atingir essa velocidade, Valéria mantém a velocidade constante de 65 60   m i l h a s / m i n u t o , durante 2 horas, ou melhor, 120   m i n u t o s . Isso nos dará um movimento uniforme no intervalo de [ 90,120 ] com:

S t = S 0 + v t

Com ajuste de 90 minutos, teremos:

S t - 90 = 72 + 65 60 ( t - 90 )

Passo 8

Finalmente, Valéria diminui sua velocidade por 3   m i n u t o s gradualmente até parar. Isso faz com que o gráfico de seu movimento se torne desacelerado com:

para que sua velocidade varie de 65 60   m i l h a s / m i n u t o   para 0   m i l h a s / m i n u t o .

E sua aceleração será:

a = Δ v Δ t = 0 - 65 60 3 = - 65 180 = - 13 / 36

E a equação horária de posição para esse intervalo de [ 210,213 ] será:

S t = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Como esse movimento começa em t = 210   m i n u t o s , precisamos fazer um deslocamento de 210 unidade na função, e ela se torna:

S t - 210 = s 0 + v 0 ( t - 210 ) + a ( t - 210 ) 2 2

S t - 210 = 202 + 65 60 ( t - 210 ) - 13 36 ( t - 210 ) 2 2

S t - 210 = 202 + 65 60 ( t - 210 ) - 13 ( t - 210 ) 2 72

Como são só 2 minutinhos, a curva é bem pequenininha, e a distância final desse percurso é   m i l h a s , o que dá 70,92   m i l h a s aproximadamente.

E prontinho, esse é o gráfico do movimento de Valéria. Ainda podemos afirmar que ela percorreu 1629 8 m i l h a s . O que dá 203,625   m i l h a s .

E isso é tudo.

Resposta

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