Enunciado

44. Ache uma equaçãode cada uma das retas tangentes à curva   3 y = x 3 - 3 x 2 + 6 x + 4     que sejam paralelas à reta 2 x - y + 3 = 0   .

Passo 1

A questão disse que a reta tangente é paralela a reta 2 x - y + 3 = 0   , mas para que duas retas sejam paralelas é preciso que ambas tenham a mesma inclinação, olha só a ilustração disso:

Figura SEQ Figura \* ARABIC 1: duas retas paralelas tem a mesma inclinação

Então, vamos isolar o y da reta dada para descobrirmos sua inclinação, o m:

2 x - y + 3 = 0  

- y = - 2 x - 3  

y = - ( 2 x + 3 ) - 1

y = 2 x + 3    

Só lembrando, uma equação da reta pode ser escrita como

y = m x + b

E o m é o valor que está colado ao x, então, o nosso m t é 2 .

Passo 2

Agora iremos encontrar as coordenadas do ponto através da derivada que é igual a inclinação da reta tangente( m t ) .

3 y = x 3 - 3 x 2 + 6 x + 4

Isolando y:

y = 1 3 x - x 2 + 2 x + 4 3

Derivando:

m t = y ' = 1 3 x - x 2 + 2 x + 4 3

Mas sabemos que

m t = 2

Portanto,

1 3 x - x 2 + 2 x + 4 3 = 2

- x 2 + 7 3 x + 4 3 - 2 = 0

- x 2 + 7 3 x - 2 3 = 0

Resolvendo essa equação por bhaskara, encontraremos x 1 = 1 3     e x 2 = 2.

Substituindo na equação da curva para encontrarmos o y 1 e y 2 :

y = 1 3 x - x 2 + 2 x + 4 3

Para x 1 :

y 1 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 3 2 + 2 1 3 + 4 3

y 1 = 1 9 - 1 9 + 2 3 + 4 3

y 1 = 2

Para x 2 :

y 2 = 1 3 ⋅ 2 - 2 2 + 2 2 + 4 3

y 2 = 2 3 - 4 + 4 + 4 3

y 2 = 2

Passo 3

Equação da reta tangente:

y - y 0 = m t ( x - x 0 )

Para o ponto de coordenadas x 1 e y 1 :

y - 2 = 2 ( x - 1 3 )

y = 2 x - 2 3 + 2  

y = 2 x + 4 3

Resposta

y = 2 x + 4 3

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