Enunciado

40. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 8 x 2 + 4   no ponto (2,1).

Passo 1

x 0             y 0

Foi nos dado a curva           y = 8 x 2 + 4       e um ponto P= (2,1)

Inicialmente vamos verificar se esse ponto pertence a curva:

1 = 8 2 2 + 4  

1 = 8 8

- 5 = 10 - 2

1 = 1 (ok!!)

Substituimos as coordenadas do Ponto na equação da curva e a igualdade foi satisfeita. Então, realmente o ponto pertence a curva.

Passo 2

iremos encontrar o y’ usando a regra do quociente:

y = 8 x 2 + 4

y ' = ( x 2 + 4 ) ⋅ 0 - 8 ⋅ ( 2 x ) x 2 + 4 2

y ' = - 16 x x 2 + 4 2

Substituindo o x 0 de P aqui , lembrando que P=(2,1):

y ' = - 16 ⋅ 2 2 2 + 4 2

A derivada no ponto x 0 é

y ' = - 32 64  

Dividindo por 32 o numerador e denominador:

y ' = - 1 2 = m t

Essa é a inclinação da reta tangente( m t )

Passo 3

Acalma o coração que está quase lá, só falta colocarmos o que encontramos na equação da reta.

y - y 0 = m t ( x - x 0 )

Lembrando que esse x 0   e y 0 são as coordenadas do ponto P.

Então, a equação da reta tangente será

y - 1 = - 1 2 ( x - 2 )

Isolando y:

y = - x + 4 2 + 1  

Fazendo o mmc:

y = - x + 4 - 2 2

y = - x + 2 2

y = - x 2 + 1  

Resposta

y = - x 2 + 1  

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