Enunciado

Ache as equações das três medianas do triângulo com vértices A(3, -2), B(3, 4) e C(-1, 1) e prove que elas se encontrar em um ponto.

Passo 1

Inicialmente vamos marcar os pontos no plano cartesiano e fazer o esboço do triângulo.

Como a mediana é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto, precisamos achar o ponto médio de cada lado do triângulo.

Ponto médio de AB:

M A B = 3 + 3 2 , - 2 + 4 2 ⇒

M A B = 6 2 , 2 2 ⇒

M A B = 3 , 1

Ponto médio de AC:

M A C = 3 + ( - 1 ) 2 , - 2 + 1 2 ⇒

M A C = 2 2 , - 1 2 ⇒

M A C = 1 , - 1 2

Ponto médio de BC:

M B C = 3 + ( - 1 ) 2 , 4 + 1 2 ⇒

M B C = 2 2 , 5 2 ⇒

M B C = 1 , 5 2

Passo 2

Vamos determinar a inclinação da mediana que liga os pontos A e M B C .

m 1 = 5 2 - - 2 1 - 3 ⇒

m 1 = 5 2 + 2 1 - 3 ⇒

m 1 = 5 + 4 2 - 2 ⇒

m 1 = 9 2 - 2 ⇒

m 1 = 9 2 . - 1 2 ⇒

m 1 = - 9 4

Assim a equação da mediana que liga A e M B C é

y 1 - - 2 = - 9 4 x - 3 ⇒

y 1 + 2 = - 9 4 x - 3 ⇒

y 1 + 2 = - 9 x 4 + 27 4 ⇒

y 1 = - 9 x 4 + 27 4 - 2 ⇒

y 1 = - 9 x 4 + 27 - 8 4 ⇒

y 1 = - 9 x 4 + 19 4

Vamos determinar a inclinação da mediana que liga os pontos B e M A C .

m 2 = - 1 2 - 4 1 - 3 ⇒

m 2 = - 1 - 8 2 1 - 3 ⇒

m 2 = - 9 2 - 2 ⇒

m 2 = - 9 2 . - 1 2 ⇒

m 2 = 9 4

Assim a equação da mediana que liga B e M A C é

y 2 - 4 = 9 4 ( x - 3 ) ⇒

y 2 - 4 = 9 x 4 - 27 4 ⇒

y 2 = 9 x 4 - 27 4 + 4 ⇒

y 2 = 9 x 4 + - 27 + 16 4 ⇒

y 2 = 9 x 4 - 11 4

Vamos determinar a inclinação da mediana que liga os pontos C e M A B .

m 3 = 1 - 1 3 - - 1 ⇒

m 3 = 0 4 ⇒

m 3 = 0

Assim a equação da mediana que liga C e M A B é

y 3 - 1 = 0 x - - 1 ⇒

y 3 - 1 = 0 ⇒

y 3 = 1

Passo 3

Observe que se igualarmos y 1 = y 2 temos

y 1 = y 2 ⇒

- 9 x 4 + 19 4 = 9 x 4 - 11 4 ⇒

- 9 x 4 - 9 x 4 = - 11 4 - 19 4 ⇒

- 18 x 4 = - 30 4 ⇒

- 9 x 2 = - 15 2 ⇒

- 9 x = - 15 ⇒

x = - 15 - 9 ⇒

x = 15 9 ⇒

x = 5 3

Substituindo x = 5 3 em y 1 e em y 2 temos

y 1 =   - 9 4 . 5 3 + 19 4 ⇒

y 1 =   - 45 12 + 19 4 ⇒

y 1 =   - 15 4 + 19 4 ⇒

y 1 =   - 15 + 19 4 ⇒

y 1 =   4 4 ⇒

y 1 =   1

y 2 = 9 4 . 5 3 - 11 4 ⇒

y 2 = 45 12 - 11 4 ⇒

y 2 = 15 4 - 11 4 ⇒

y 2 = 15 - 11 4 ⇒

y 2 = 4 4 ⇒

y 2 = 1

Logo y 1 e y 2 se encontram no ponto 5 3 ,   1 .

Observe que y 1 e y 2 se encontram sobre a reta y 3 = 1 . Logo as três se encontram sobre o único ponto 5 3 ,   1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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