Enunciado

Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

f x = tan 2 ⁡ x

x ∈ - π 2 , π 2

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x . Para isso, vamos usar a regra da cadeia

f ' x = 2 tan ⁡ x tan ⁡ x '

f ' x = 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x

Vamos fazer

tan ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

e

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Então a derivada vai ficar:

f ' x = 2 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. A derivada não vai existir quando o denominador for 0

cos ⁡ x = 0

No intervalo, não temos nenhum valor para isso.

Agora vamos igualar a derivada a 0

f ' x = 0 → 2 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x = 0

Fazendo:

sen ⁡ x = 0

No invervalo temos

x = 0

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Aplicando a regra do quociente:

f ' ' x = 2 cos ⁡ x cos 2 ⁡ x - - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x cos 4 ⁡ x

f ' ' x = 2 cos 3 ⁡ x + 2 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x cos 4 ⁡ x

Organizando isso:

f ' ' x = 2 cos 2 ⁡ x + 2 sen 2 ⁡ x cos 3 ⁡ x

Temos que

f ' ' 0 = 2 1 2 + 2 0 2 1 3 = 2 > 0

Logo x = 0 é um ponto de mínimo.

Passo 3

Vamos agora para a concavidade

f ' ' x = 2 cos 2 ⁡ x + 2 sen 2 ⁡ x cos 3 ⁡ x

Temos no numerador uma soma de números ao quadrado, então ele será sempre positivo.

O denominador depende de cos ⁡ x , mas no intervalo que ele deu esse valor sempre vai ser positivo. Então

f ' ' x > 0

Para qualquer valor de x , não tendo ponto de inflexão e sendo sempre côncava para cima.

Passo 4

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Mínimo relativo:

x = 0

Concava para cima:

x ∈ - π 2 , π 2

O esboço vai ficar:

Resposta

Mínimo relativo:

x = 0

Concava para cima:

x ∈ - π 2 , π 2

O esboço vai ficar:

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