Enunciado

Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

f x = 5 x 3 - 3 x 5

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x .

f ' x = 15 x 2 - 10 x 4

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Aqui só vamos olhar quando a derivada é 0 .

f ' x = 0 → 15 x 2 - 10 x 4 = 0

Fazendo:

5 x 2 3 x 2 - 2 = 0

x 2 = 0   o u   x 2 = 2 3

x = 0   o u   x = 2 3   o u   x = - 2 3

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Vamos ter

f ' ' x = 30 x - 10

Temos que ver o valor de f ' ' x para x = 0 e x = 2 3

Primeiro x = 0 :

f ' ' 0 = 30 0 - 10 = - 10 < 0

Logo x = 0 é ponto de Máximo relativo.

Passo 3

Agora x = 2 3 :

f ' ' 2 3 = 30 2 3 - 10

Temos que ver se esse cara é positivo ou negativo. Para isso vamos racionalizar:

2 3 = 2 3 = 2 3 3 3 = 6 3

Assim:

f ' ' 2 3 = 30 6 3 - 10 = 10 6 - 10

Como 6 é maior que 1 , aquela subtração vai ser maior que 0 . Então

f ' ' 2 3 < 0

Logo x = 2 3 é ponto de máximo relativo.

Passo 4

Por fim

Agora x = - 2 3 :

f ' ' - 2 3 = 30 - 2 3 - 10 = - 30 2 3 - 10

Estamos com dois números negativos, então

f ' ' - 2 3 < 0

Logo x = f ' ' - 2 3 é ponto de mínimo relativo.

Passo 5

Vamos agora para a concavidade

F ' ' x = 30 x - 10

Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.

Para isso, vamos fazer:

30 x - 10 = 0

30 x = 10

x = 1 3

Como temos apenas o x , antes desse valor a função vai ser negativa e depois ela vai ser positiva.

Então, a função é côncava para baixo para valores menores que 1 3 , e côncava para cima para valores maiores que 1 3 .

Assim o ponto de inflexão é:

x = 1 3

Passo 6

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Máximo relativo:

x = 2 3

Mínimo relativo:

x = 0

x = - 2 3

Ponto de inflexão:

x = 1 3

Concava para cima:

x > 1 3

Concava para baixo

x < 1 3

O esboço vai ficar:

Resposta

Máximo relativo:

x = 2 3

Mínimo relativo:

x = 0

x = - 2 3

Ponto de inflexão:

x = 1 3

Concava para cima:

x > 1 3

Concava para baixo

x < 1 3

O esboço vai ficar:

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